数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章 联系客服

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值:

(1) y=x5-5x4+5x3+1,[-1,2]; (2) y=2tgx-tg2x, [0,?]; 2(3) y=xlnx, (0,+∞).

11. 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大? 12. 一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V时, 要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器的高的比例应该怎样?

13. 设用某仪器进行测量时,读得n次实验数据为a1,a2,…, an.问以怎样的数值x表达所要测量的真值,才能使它与这n个数之差的平方和为最小?

14. 求下列函数的极值:

(1) f(x)=|x(x-1)|; (2) f(x)=f(x)=(x-1)2(x+1)3.

15. 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1,x2=2处都取得极值;试定出a与b的值;并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值?

16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小. 17. 要把货物从运河边上A城运往与运河相距

2

x(x2?1)x4?x2?1; (3)

为BC=a千米的B城(见图7-1).轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米(β>α),试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.

18. 确定下列函数的凸性区间与拐点: (1) y=2x3-3x2-36x+25; (2) y=x+1; x2(3) y=x2+1; (4) y=ln(x+1); x19. 问a和b为何值时,点(1,3)为曲线y=ax3+bx3的拐点?

四、证明题 1. 证明:

(1)方程x3—3x+c=0(这里C为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根; (2)方程xn+px+q=0(n为自然数,p,q为实数)当n为偶数时至多有两个实根;当n为奇数时至多有三个实根。

2. 证明:(1)若函数f在[a,b]上可导,且f?(x)≥m,则f(b)≥f(a)+m(b-a);

(2)若函数f在[a,b]上可导,且|f?(x)|≤M,则|f(b)-f(a)|≤M(b-a);

(3)对任意实数x1,x2,都有|sinx1-sinx2|≤

|x1-x2|.

3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式:

abb?a(1)b?,其中00.

24. 设函数f在[a,b]上可导。证明:存在ξ∈(a,b),使得

2ξ[f(b)-f(a)]=(b2-a2)f?(ξ).

5. 设函数在点a具有连续的二阶导数。证明:

limh?0f(a?h)?f(a?h)?2f(a)f''(a)2h.

6. 试讨论函数f(x)=x2,g(x)=x3在闭区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么?

7. 设0<α<β

8. 设h>0,函数f在[a-h,a+h]上可导。证明:

?f(a?h)(1)f(a?h)h; ?f'(a??h)?f'(a??h),θ∈(0,1)?f(a?h)(2)f(a?h)?f(a)?f'(a??h)?f'(a??h),θ∈(0,1). h9. 以S(x)记由(a,f(a)),(b,f(b)),(x,f(x))三点组成

的三角形面积,试对S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。

10. 若函数f, g和h在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明存在实数ξ∈(a,b),使得

f(a) g(a) h(a)f(b) g(b) h(b)f'(?) g'(ξ) h'(ξ)=0.

再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

11. 设f为[a,b]上二阶可导函数,且f(a)=f(b)=0,并存在一点c∈(a,b)使得f(c)>0.证明至少存在一点ξ∈(a,b),使得f??(ξ)<0.

12. 证明达布定理:若f在[a,b]上可导,且f?(a)≠f?(b),k为介于f?(a)与f?(b)之间的任一实数,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f?(ξ)=k. 13. 设函数f在(a,b)内可导,且f'单调。证明f'在(a,b)内连续。

14. 证明:设f为n阶可导函数,若方程f(x)=0有n+1个相异实根,则方程f(n)(x)=0至少有一个实根。

15. 设p(x)为多项式,α为p(x)=0的r重实根。证明 :α必定是p'(x)=0的r-1重实根。 16. 证明: