发布时间 : 星期一 文章2020届高考数学二轮复习分层讲义(拔高)：圆锥曲线第1章 轨迹方程更新完毕开始阅读153e94cabeeb19e8b8f67c1cfad6195f302be864
第一章轨迹方程
动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解，所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标x,y所满足的等量关系式，通常的方法有直译法，定义法，相关点法（代入法），参数法.
第一节：直译法:
如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含x,y的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法.
【例1】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A??1,1?关于原点O对称，P是动点，且直线AP与
1BP的斜率之积等于?，求动点P的轨迹方程.
3解析：因为点B与点A??1,1?关于原点O对称，所以点B的坐标为?1,?1?，设点P?x,y?，由题意得y?1y?1g??x?1x?13化简得x?3y?4?x??1? ，故动点P的轨迹方程为x?3y?4?x??1? 1，2222【例2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A?0,?1?,B点在直线y??3上，M点满足
uuuruuuruuuruuuruuuruuurMBPOA,MAgAB?MBgBA，M点的轨迹为曲线C，求C的方程。 uuuruuur解析 设M?x,y?，因为A?0,?1?，M点满足MB//OA，所以
uuuruuuruuurB?x,?3?,MA???x,?1?y?,MB??0,?3?y?,AB??x,?2?，由题意可知
?
uuuruuuruuur1MA?MB?AB?0，即(?x,?4?2y)?(x,?2)?0，即y?x2?2。 ?4【例3】已知抛物线C：y?2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A，B两点，
2交C的准线于P，Q两点．
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARPFQ；
（II）若?PQF的面积是?ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程. 1【解析】(1) 由题设F(,0).设l1:y?a,l2:y?b，则ab?0，且 2a2b2111a?bA(,a),B(,b),P(?,a),Q(?,b),R(?,). 222222记过A,B两点的直线为l，则l的方程为2x?(a?b)y?ab?0. .....3分 由于F在线段AB上，故1?ab?0. 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1?a?ba?b1?ab?????b?k2.所以AR∥FQ. a1?a2a2?abaa?b111b?aFD?b?ax1?,S?PQF?. 2222 (2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S?ABF?由题设可得a?b11b?ax1??，所以x1?0(舍去)，x1?1. 222设满足条件的AB的中点为E(x,y).
2y?(x?1). a?bx?1当AB与x轴不垂直时，由kAB?kDE可得a?b?y，所以y2?x?1(x?1). 2而当AB与x轴垂直时，E与D重合.所以，所求轨迹方程为y2?x?1
第二节：定义法:
若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则 可根据定义直接求出方程中的待定系数，故又称待定系数法。
【例1】设定点F1(0,?3)、F2(0,3)，动点P满足条件PF1?PF2?a?9(a?0)，则点P的轨迹( )
a A．椭圆 B．线段 C. 不存在 D．椭圆或线段
由题意得（当且仅当时取等）。
当时，
时，
，即
，所以点一定在线段上，故其轨迹是一条线段；当
，椭圆上任意一点到两定点的距离之和为定值，
所以点的轨迹是一个椭圆。 故本题正确答案为D。
x2y2??1的左，右焦点，A为椭圆【例2】如图10-15所示，F1,F2为椭圆43上任因点，过焦点F2向?F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，并延长F2D交F1A 于点B ，则点D的轨迹方程是 ，点B的轨迹方程是 解析因为?BAD??F2AD,AD?BF2 ,所以VADF2≌VADB 故BD?F2D,BA?F2A ,又11O为F1F2中点,所以ODPBF1 ,OD??AF1?AF2??2 ,则点D的轨迹为以O为圆心,2为22半径的圆,故点D的轨迹为x?y?4(y?0) ,同理,点B的轨迹是以F,0? 为圆心,4为半径1??122的圆,故点B的轨迹方程为?x?1??y?16(y?0).
22（1,0）【例3】设圆x?y?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B且与x轴不重合，l交圆A于
22C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明EA?EB为定值，并写出点??的轨迹方程；
试题解析：（Ⅰ）因为|AD|?|AC|，EB//AC，故?EBD??ACD??ADC，
所以|EB|?|ED|，故|EA|?|EB|?|EA|?|ED|?|AD|.
又圆A的标准方程为(x?1)?y?16，从而|AD|?4，所以|EA|?|EB|?4.
22由题设得A(?1,0)，B(1,0)，|AB|?2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：
x2y2??1（y?0）. 43
第三节：相关点法:
有些问题中，所求轨迹上点M?x,y?的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点M??x?,y??相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用x,y表示x?,y?，再x?,y?将代入已知曲线方程，即得x,y关系式.
【例1】如图10--17所示，设P是圆x?y?25 上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且MD?轨迹C的方程.
解析 设M的坐标为(x,y)，P的坐标为(x0,y0)，因为M为PD上一点，且|MD|=224PD，当P在圆上运动时，求点M的545?x?x0?x0?x52x2y2??2|PD|，所以??1，故点4??5，又P(x0,y0)在圆上，所以x?(y)?25，即?25164y?yy?y00??5?4?x2y2M的轨迹C的方程为??1(y?0)。 2516