发布时间 : 星期日 文章2019年湖北省荆门市中考数学试卷(含答案解析)更新完毕开始阅读156e6fd55e0e7cd184254b35eefdc8d377ee1410
【分析】根据根与系数的关系结合(x1﹣1)(x2﹣1)=8k2,可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出k的值,根据方程的系数结合根的判别式△>0,可得出关于k的一元二次不等式,解之即可得出k的取值范围,进而即可确定k值,此题得解. 【解答】解:∵x1,x2是关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0的两个实数根, ∴x1+x2=﹣(3k+1),x1x2=2k2+1.
∵(x1﹣1)(x2﹣1)=8k2,即x1x2﹣(x1+x2)+1=8k2, ∴2k2+1+3k+1+1=8k2, 整理,得:2k2﹣k﹣1=0, 解得:k1=﹣,k2=1.
∵关于x的方程x2+(3k+1)x+2k2+1=0的两个不相等实数根, ∴△=(3k+1)2﹣4×1×(2k2+1)>0, 解得:k<﹣3﹣2∴k=1. 故答案为:1.
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式,利用根与系数的关系结合(x1﹣1)(x2﹣1)=8k2,求出k值是解题的关键.
15.(3分)如图,在平面直角坐标系中,函数y=(k>0,x>0)的图象与等边三角形OAB的边OA,AB分别交于点M,N,且OM=2MA,若AB=3,那么点N的横坐标为
.
或k>﹣3+2
,
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件,可求出OM,通过做垂线,利用解直角三角形,求出点M的坐标,进而确定反比例函数的关系式;点N在双曲线上,而它的纵横坐标都不知道,因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组,解出x的值,再进行取舍即可.
【解答】解:过点A、M分别作AC⊥OB,MD⊥OB,垂足为C、D,
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∵△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=OB=3,∠AOB=60° ∵又OM=2MA, ∴OM=2,MA=1, 在Rt△MOD中, OD=OM=1,MD=∴M(1,
);
,
∴反比例函数的关系式为:y=在Rt△MOD中, OC=OA=,AC=∴A(,
),
,
设直线AB的关系式为y=kx+b,把A(,),B(3,0)代入得:
解得:k=﹣
∴y=
x+
;
,b=,
由题意得: 解得:x=,
∵x>, ∴x=
,
故点N的横坐标为:
【点评】考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式组成方程组,通过解方程组求出交点坐标,在此仅求交点的横坐标即可,也就是求出
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方程组中的x的值.
16.(3分)如图,等边三角形ABC的边长为2,以A为圆心,1为半径作圆分别交AB,AC边于D,E,再以点C为圆心,CD长为半径作圆交BC边于F,连接E,F,那么图中阴影部分的面积为
+
﹣ .
【分析】过A作AM⊥BC于M,EN⊥BC于N,根据等边三角形的性质得到AM==
×2=
,求得EN=AM=
BC
,根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到
结论.
【解答】解:过A作AM⊥BC于M,EN⊥BC于N,
∵等边三角形ABC的边长为2,∠BAC=∠B=∠ACB=60°, ∴AM=
BC=
×2=
,
∵AD=AE=1, ∴AD=BD,AE=CE, ∴EN=AM=
,
﹣
∴图中阴影部分的面积=S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣(S△BCD﹣S扇形DCF)=×2×
﹣
故答案为:
+
×﹣.
﹣(
×
﹣
)=
+
﹣,
【点评】本题考查了扇形的面积的计算,等边三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
17.(3分)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的顶点为P,且抛物线经过点A(﹣1,
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0),B(m,0),C(﹣2,n)(1<m<3,n<0),下列结论: ①abc>0, ②3a+c<0,
③a(m﹣1)+2b>0,
④a=﹣1时,存在点P使△PAB为直角三角形. 其中正确结论的序号为 ②③ .
【分析】由已知可以确定a<0,b>0,c=b﹣a>0; ①abc<0;
②当x=3时,y<0,即9a+3b+c=9a+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)<0; ③a(m﹣1)+2b=﹣b+2b=b>0; ④a=﹣1时,P(,b+1+=﹣2不合题意;
【解答】解:将A(﹣1,0),B(m,0),C(﹣2,n)代入解析式y=ax2+bx+c, ∴对称轴x=∴﹣=m﹣1, ∵1<m<3, ∴ab<0, ∵n<0, ∴a<0, ∴b>0, ∵a﹣b+c=0, ∴c=b﹣a>0 ①abc<0;错误; ②当x=3时,y<0,
∴9a+3b+c=9a+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)<0,②正确; ③a(m﹣1)+2b=﹣b+2b=b>0,③正确; ④a=﹣1时,y=﹣x2+bx+c, ∴P(,b+1+
),
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),则△PAB为等腰直角三角形,b+1+=+1,求出k
,