发布时间 : 星期日 文章2019年高考,高三理科数学一轮复习函数零点与方程的根(解析版)更新完毕开始阅读15a11a4f0640be1e650e52ea551810a6f524c8bc
高三理科数学一轮复习：方程的根与函数的零点
课时目标
1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的
图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.
2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理． 知识解读
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的关系
函数图象 Δ>0 Δ<0 判别式 Δ＝0 与x轴交点个数 ____个 ____个 ____个 方程的根 ____个 ____个 无解 2.函数的零点：对于函数y＝f(x)，我们把________________叫做函数y＝f(x)的零点． 3．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0__________?函数y＝f(x)的图象______________?函数y＝f(x)__________． 4．函数零点的存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是________的一条曲线，并且有_________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内________，即存在c∈(a，b)，使得__________，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 习题演练
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A．0个B．1个 C．2个D．无法确定
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的( )
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0 D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )
111
A．0，－2 B．0，2 C．0,2 D．2，－2 4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1,2)
2
?x＋2x－3， x≤0，
5．函数f(x)＝?零点的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3
?－2＋lnx，x>0
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f(x)＝lnx－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________．
x 1 2 3 －1 0 xe 0.37 1 2.72 7.39 20.09 1 2 3 4 5 x＋2 10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
2
?x＋bx＋c，x≤0，
12．设函数f(x)＝?若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的
?2，x>0，
解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
答案
知识解读
1．2 1 0 2 1 2.使f(x)＝0的实数x 3.有实数根 与x轴有交点 有零点 4.连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)＝0 课堂小练
1．C [方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，则对应函数的零点个数为2个．] 2．C [对于选项A，可能存在根；对于选项B，必存在但不一定唯一；
选项D显然不成立．]
a1a1
3．A [∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，b＝－2.令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝b＝－2.] 4．C [∵f(x)＝ex＋x－2，f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0,1)上存在零点．] 5．C [x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝lnx－2在(0，＋∞)上递增，f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∵f(1)f(e3)<0 ∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．总之，f(x)在R上有2个零点．] 6．A [设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)?b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.]
7．3 0解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.
8．2解析 该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx－x＋2有2个零点．
9．1解析 设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
10．证明 设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解． 从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
?m>0?m<02
11．解 令f(x)＝mx＋2(m＋3)x＋2m＋14.依题意得?或?，
?f?4?<0?f?4?>0
?m>0?m<019即?或?，解得－13
2
?16－4b＋c＝c，?b＝4，?x＋4x＋2，x≤0，
12．C [由已知?得?∴f(x)＝?
4－2b＋c＝－2，c＝2.2，x>0.???
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，即x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1或x＝－2； 当x>0时，方程为x＝2，∴方程f(x)＝x有3个解．] 13．解 设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1.
∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
?f?0?>0∴?f?1?<0?f?2?>0
?2k－1>0
，即?1＋k－2＋2k－1<0
?4＋2k－4＋2k－1>0
12∴2 高三理科数学一轮复习：函数与方程（解析版） D．无数个 4 1．函数f(x)＝x－的零点个数是( ) xA．0 B．1 C．2 4 答案 C解析 令f(x)＝0，解x－＝0，即x2－4＝0，且x≠0，则x＝±2. x2．(2017·郑州质检)函数f(x)＝lnx－A．0 B．1 C．2 答案 C解析 y＝ 1 的零点的个数是( ) x－1 D．3 1 与y＝lnx的图像有两个交点． x－1 3．函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是( ) 111 A．(，) B．(，1) C．(1，2) 422 D．(2，3) 1 答案 C解析 因为y＝与y＝log2x的图像只有一个交点，所以f(x)只有一个零点．又因为f(1)＝1，f(2) x＝－1，所以函数f(x)＝1－xlog2x的零点所在的区间是(1，2)．故选C. 4．(2018·湖南株洲质检一)设数列{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2的两个零点是a2，a3，则a1a4＝( ) A．2 B．1 C．－1 D．－2 答案 D解析 因为函数y＝x2－x－2的两个零点是a2，a3，所以a2a3＝－2，由等比数列性质可知a1a4＝a2a3＝－2.故选D. 2 5．若函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( ) xA．(1，3) B．(1，2) C．(0，3) D．(0，2) 答案 C解析 由条件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得0 A．[0，) B．(0，) C．(0，] eee 1 D．(－，0) e 答案 D解析 令g(x)＝xlnx，h(x)＝a，则问题可转化成函数g(x)与h(x)的图像有两个交点．g′(x)＝lnx＋111 1，令g′(x)<0，即lnx<－1，可解得0 eee 111 函数g(x)单调递减；当x>时，函数g(x)单调递增，由此可知当x＝时，g(x)min＝－.在同一坐标系中作出 eee