发布时间 : 星期四 文章高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.3 平均值不等式（二）训练 北师大版选修4-5更新完毕开始阅读15aeaa65bed126fff705cc1755270722192e5939
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1.3 平均值不等式（二）
一、选择题
1.设x、y、z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则xy·z的最大值为( ) A.1 C.3
解析 由x、y、z＞0及
B.2 D.4
23
a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an(其中a1＞0，…an＞0)，
n?x＋x＋y＋y＋y＋4z?6
23?＝1. ∴xyz＝··y·y·y·4z≤?22
??22
6??
xx答案 A
?1??1??1?则x的取值范围为( )
2.设a，b，c∈(0，＋∞)且a＋b＋c＝1，令x＝?－1??－1??－1?，
?a??b??c??1?A.?0，? ?8?
C.[1，8)
?1?B.?，1? ?8?
D.[8，＋∞)
1??1??1?1－a1－b1－c?解析 ∵x＝?－1??－1??－1?＝·· abc?a??b??c?＝
（b＋c）（c＋a）（a＋b）2bc·2ca·2ab≥＝8，
abcabc当且仅当a＝b＝c时取等号，∴x≥8. 答案 D
1→→→→→
3.已知|AB|⊥|AC|，|AB|＝，|AC|＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且|AP|
tuuuruuurAB4AC→→＝uuur?uuur，则PB·PC的最大值等于( )
ABACA.13 C.19
解析 建立平面直角坐标系，用坐标法求解.
→→
∵AB⊥AC，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系.不妨设
B.15 D.21
?0，1??t?1??4（t，0）→??B?0，?，C(t，0)，则AP＝＋＝(4，1)， 1t?t?
t故点P的坐标为(4，1).
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PB·PC＝?－4，－1?·(t－4，－1)＝－4t－＋17＝－?4t＋?＋17
t?t?t??
≤－24＋17＝13.
11
当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13.
t2答案 A
4.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V，则下列关系式总成立的是( ) A.V≥π 1
C.V≥π
8
解析 设圆柱的底面半径为r，高为h， 则由题意得：4r＋2h＝6，即2r＋h＝3，
B.V≤π 1D.V≤π
8
→→?
1
?
1
?
1?
?r＋r＋h?＝π?3?＝π，
于是有V＝πrh≤π·???3??3???
2
33
当且仅当r＝h时取等号. 答案 B
5.如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是( )
?l?A.??π
?6??l?C.??π ?4?
解析 l＝4r＋2h，即2r＋h＝，
2
3
3
?l?B.??π ?3?
1?l?3D.??π 4?4?
3
l?r＋r＋h?π＝?l?π.
V＝πrh≤???6?
?3???
2
33
答案 A
x＋x＋1?1?2
6.在区间?，2?上，函数f(x)＝x＋bx＋c (b，c∈R)与g(x)＝在同一点取相同的
x?2?
2
?1?最小值，那么f(x)在区间?，2?上的最大值是( )
?2?
A.13 4
B.4 5D. 4
C.8
1
解析 g(x)＝x＋＋1在x＝1时，取最小值3.
x∴b＝－2，c＝4.
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答案 B 二、填空题 7.函数y＝
x2
x4＋9
(x≠0)有最大值______，此时x＝______.
2
解析 ∵x≠0，∴x>0. ∴y＝
＝x＋9
4
x2
19
≤
1
x2＋22
xxx2·2
x1＝， 96
9242
当且仅当x＝2，即x＝9，x＝3，x＝±3时取等号， 1
即当x＝±3时，ymax＝.
61
答案 ±3
6
8.建造一个容积为8 m，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为180元和80元，那么水池的最低总造价为________.
44解析 设池长x m，则池宽 m，水池总造价y＝180×4＋2×2××80＋2×2×x×80＝720
3
xx?4?＋320·?＋x?≥720＋320×4＝2 000(元)，当且仅当x＝2时“＝”成立.
?x?
答案 2 000元 三、解答题
3222
9.在△ABC中，如果三内角满足：sinA＋sinB＝5sinC，求证：sin C≤.
5证明 在△ABC中，由正弦定理，得 ＝＝＝2R. sin Asin Bsin C又∵sinA＋sinB＝5sinC，∴a＋b＝5c. 由余弦定理，得
22
a2＋b2－c24c24c4c4
cos C＝＝≥22＝2＝. 2ab2aba＋b5c5
2
2
2
2
2
2
abc4π3
由0 525 10.某城建公司承包旧城拆建工程，按合同规定在4个月内完成.若提前完成，每提前一天可获2千元奖金，但这要追加投入费用；若延期则每延期一天将被罚款5千元.追加投入的费用按以下关系计算：6x＋ 784 －118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多x＋3 少天，才能使此公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用). 金戈铁制卷 -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ 解 设该城建公司获得的附加效益为y千元， 则由题意，得 －118?＝118－?4x＋y＝2x－?6x＋ x＋3x＋3?????＝118－?4（x＋3）＋＝130－?4（x＋3）＋≤130－2 ????? 784 ?? 784? 784 －12?? x＋3?784? x＋3?? 784 ＝130－112＝18， x＋3 4（x＋3）· 当且仅当4(x＋3)＝ 784 ，即x＝11时取等号. x＋3 ∴提前11天完工，公司可获得最大附加效益. ?111?11.已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋?＋＋?≥63，并确定a，b，c为何值?abc? 2 2 2 2 时，等号成立. 证明 法一 因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得 a＋b＋c≥3(abc)3① 1 111－ ＋＋≥3(abc)3， 222 2 abc2 111??－ 所以?＋＋?≥9(abc)3.② ?abb? 2 22 111??－ 故a＋b＋c＋?＋＋?≥3(abc)3＋9(abc)3. ?abc? 2 2 22 2－ 2 又3(abc)3＋9(abc)3≥227＝63③ 所以原不等式成立. 2 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)＝9(abc)3时，③式等号成 3 2－ 立. 1 即当且仅当a＝b＝c＝34时，原式等号成立. 法二 因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 所以a＋b＋c≥ab＋bc＋ac，① 2 2 2 金戈铁制卷 -------------------------天才是百分之一的灵感加百分之九十九的勤奋------------------------------ 111111 同理2＋2＋2≥＋＋.② abcabbcac2 111?111?故a＋b＋c＋?＋＋?≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥63.③ abbcac?abc? 2 2 2 所以原不等式成立. 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)＝(bc)＝(ac)＝3时，③式等号成立. 1 即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立. 4 2 2 2 金戈铁制卷