发布时间 : 星期一 文章平新乔课后习题详解（第10讲--策略性博弈与纳什均衡）更新完毕开始阅读164360627dd184254b35eefdc8d376eeaeaa1791
平新乔《微观经济学十八讲》第10讲 策略性博弈与纳什均衡
1．假设厂商A与厂商B的平均成本与边际成本都是常数，MCA?10，MCB?8，对厂商产出的需求函数是
QD?500?20p
（1）如果厂商进行Bertrand竞争，在纳什均衡下的市场价格是多少？ （2）每个厂商的利润分别为多少？ （3）这个均衡是帕累托有效吗？ 解：（1）如果厂商进行Bertrand竞争，纳什均衡下的市场价格是pB?10??，pA?10，其中?是一个极小的正数。理由如下：
假设均衡时厂商A和B对产品的定价分别为pA和pB，那么必有pA?10，pB?8，即厂商的价格一定要高于产品的平均成本。其次，达到均衡时，pA和pB都不会严格大于10。否则，价格高的厂商只需要把自己的价格降得比对手略低，它就可以获得整个市场，从而提高自己的利润。所以均衡价格一定满足pA?10，pB?10。但是由于pA的下限也是10，所以均衡时pA?10。给定pA?10，厂商B的最优选择是令pB?10??，这里?是一个介于0到2之间的正数，这时厂商B可以获得整个市场的消费者。综上可知，均衡时的价格为pA?10，pB?10??。
（2）由于厂商A的价格严格高于厂商B的价格，所以厂商A的销售量为零，从而利润也是零。下面来确定厂商B的销售量，此时厂商B是市场上的垄断者，它的利润最大化问题为：
maxpq?cq ①
??0其中p?10??，q?500?20??10???，把这两个式子代入①式中，得到：
max?10???8???500?20?10?????
??0解得??0，由于?必须严格大于零，这就意味着?可以取一个任意小的正数，所以厂商B的利润为：??500?20??10??????10???。
（3）这个结果不是帕累托有效的。因为厂商B的产品的价格高于它的边际成本，所以
如果厂商B和消费者可以为额外1单位的产品协商一个介于8到10??之间的价格，那么厂商B的利润和消费者的剩余就都可以得到提高，同时又不损害厂商A的剩余（因为A的利润还是零）。
2．（单项选择）在下面的支付矩阵（表10-1）中，第一个数表示A的支付水平，第二个数表示B的支付水平，a、b、c、d是正的常数。如果A选择“下”而B选择“右”，那么：
表10-1 博弈的支付矩阵
（1）b?1且d?1 （2）c?1且b?1 （3）b?1且c?d （4）b?c且d?1 （5）a?1且b?d 【答案】（3）
【分析】由于（下，右）是均衡策略，所以给定B选择“右”，“下”是A的最优选择，这就意味着c?d；同样的，给定A选择“下”，“右”也是B的最优选择，这就意味着b?1。
3．史密斯与约翰玩数字匹配游戏。每一个人选择1、2或者3。如果数字相同，约翰支付给斯密3美元。如果数字不同，斯密支付给约翰1美元。
（1）描述这个对策的报酬矩阵，并且证明没有纯策略纳什均衡策略组。
1（2）如果每一个局中人以的概率选择每一个数字，证明这个对策的混合策略确实有
3一纳什均衡。这个对策的值是什么？
解：（1）根据题意，构造如下的支付矩阵（表10-2）（其中每一栏中前一个数字是史密斯的支付，后一个数字是约翰的支付）：
表10-2 玩数字匹配游戏的支付矩阵
首先由史密斯来选择，假设史密斯选择1，并期望约翰选择1，从而使自己得到3的支付。但是，如果史密斯选择1，则约翰一定会选择2或者3，从而使自己得到1，而不是-3。假设约翰选择2，他期望史密斯选择1或者3，以使得自己得到1，而实际上史密斯会选择2，使得约翰得到-3，等等。不断的循环反复，最终也无法达成一个使得双方都能够接受的方案。因此，这个对策没有一个纯策略纳什均衡。
（2）假设均衡时，约翰选择1、2、3的概率分别为x1、x2和1?x1?x2，那么此时史密斯在选择1、2、3之间是没有区别的，即：
3x1?x2??1?x1?x2???x1?3x2??1?x1?x2???x1?x2?3?1?x1?x2?
从而解得
x1?x2?1?x1?x2?1 3类似的方法可以解得史密斯在均衡状态下选择1、2、3的概率分别为1/3。
4．假定世界上氪的整个供给由20个人控制，每一个人拥有这种强有力的矿物10000克。世界对氪的需求是
Q?1000?1000p
其中p是每克的价格。
（1）如果所有拥有者合谋控制氪的价格，他们设置的价格是多少？他们能够卖出的量
是多少？
（2）为什么（1）中计算的价格是不稳定的？
（3）通过改变要求保持市场价格的产出，在没有厂商能够获利的意义下存在一个稳定的均衡时，氪的价格是多少？
解：（1）所有拥有者合谋控制氪的价格，此时总的利润函数为：
???1?Q?Q
1000利润最大化的一阶条件为：
d?1?1?Q?0 dQ500??1??解得总供应量为Q?500（克）。此时p?1?500/20?25（克）。
1Q?0.5，每个厂商的供应量为1000（2）对第一个厂商而言，给定其他每个厂商的供应量为25克，那么他的利润最大化问题为：
maxq1525?q1q1 1000根据一阶条件解得：
q1?262.5
可见在其他厂商的供应量为25克的条件下，厂商1增加供应量会提高自己的利润。类似的结论对市场上的其他厂商也成立，所以合谋是不稳定的。
（3）题目要求完全竞争市场的均衡结果。令p?MC，得到氪的价格为零。市场上的总供给量为1000克，每个成员的出售量为50克。
5．在下表所示的策略型博弈（表10-3）中，找出占优均衡。
表10-3 博弈的支付矩阵
答：对于行为人2而言，R优于M，所以行为人2将会剔除掉M策略，只在R、L这两个策略中进行选择；对于行为人1来说，知道了行为人2会在L、R策略中选择，则U占优于M和D策略。当行为人2知道行为人1选择了U策略时，他则最终会选择L策略。所以，最终的占优均衡为（U，L）。
6．模型化下述划拳博弈：两个老朋友在一起划拳喝酒，每个人有四个纯策略：杆子、老虎，鸡和虫子。输赢规则是：杆子降考虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令。如果一个打败另一个，赢者的效用为1，输者的效用为-1；否则，效用均为0。写出这个博弈的收益矩阵。这个博弈有纯策略纳什均衡吗？计算出混合策略纳什均衡。
答：（1）该题的支付矩阵（表10-4）为：
表10-4 划拳博弈的支付矩阵
（2）这是一个零和博弈，没有纯策略纳什均衡。这是因为：
对两个参与者，给定对方策略时，本方的占优策略对应的支付以下划线标注，均衡存在当且仅当在同一栏中出现两个下划线。由此可知，该博弈没有纯策略纳什均衡。
（3）记游戏者1分别选择各个策略的概率为?p1,p2,p3,p4?，游戏者2分别选择各个策略的概率为?q1,q2,q3,q4?。
当游戏者2分别以概率?q1,q2,q3,q4?选择四个策略时，游戏者1的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：
1?q2???1??q4???1??q1?1?q3???1??q2?1?q4?1?q1???1??q3
1又因为q1?q2?q3?q4?1，可以得到：q1?q2?q3?q4?。
4同理，当对于游戏者1分别以概率?p1,p2,p3,p4?选择四个策略时，游戏者2的四个策略的收益应该相等（根据同等支付原则）：
1?p2???1??p4???1??p1?1?p3???1??p2?1?p4?1?p1???1??p3
又因为p1?p2?p3?p4?1，可以得到：p1?p2?p3?p4?因此混合策略纳什均衡为：（?1，?2），其中
1。 4?1??，，，?，?2??，，，?
?4444??4444?
7．巧克力市场上有两个厂商，各自都可以选择去市场的高端（高质量），还是去低端（低质量）。相应的利润由如下收益矩阵（表10-5）给出：
表10－5 巧克力商的博弈
?1111??1111?
（1）如果有的话，哪些结果是纳什均衡？
（2）如果各企业的经营者都是保守的，并都采用最大最小化策略，结果如何？ （3）合作的结果是什么？