发布时间 : 星期二 文章【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：第8篇 第6讲 抛物线更新完毕开始阅读1780f047473610661ed9ad51f01dc281e43a565a
第6讲 抛物线
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·四川卷)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是 ( )． A．23 C．3
B．2 D．1
解析 由抛物线方程知2p＝8?p＝4，故焦点F(2,0)，由点到直线的距离公式|2－3×0|知，F到直线x－3y＝0的距离d＝＝1.
1＋3答案 D
2．(2014·安康中学模拟)已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线相切，则p的值为 A．1 1C．2
B．2 D．4
( )．
解析 圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3,0)，半径为4.圆心到准线?p?的距离为3－?－2?＝4，解得p＝2.
??答案 B
3．点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )． A．y＝12x2 C．y＝－36x2
B．y＝12x2或y＝－36x2 11
D．y＝12x2或y＝－36x2
11
解析 分两类a>0，a<0可得y＝12x2，y＝－36x2. 答案 D
22xy
4．(2014·吉安模拟)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线4－5＝1的右焦
点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，
则A点的横坐标为 A．22 C．23
B．3 D．4
( )．
p?p?
解析 抛物线的焦点为?2，0?，准线为x＝－2.双曲线的右焦点为(3,0)，所以
??p2
＝3，即p＝6，即y＝12x.过A做准线的垂线，垂足为M，则|AK|＝2|AF|2
＝2|AM|，即|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，代入y2＝12x，解得x＝3. 答案 B
5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为 A．y＝x－1或y＝－x＋1 33
B．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1) C．y＝3(x－1)或y＝－3(x－1) D．y＝
22
(x－1)或y＝－(x－1) 22
( )．
→＝3FB→，而F点坐标为(1,0)，设B(x，y)，
解析 法一 由|AF|＝3|BF|，得AF00?1－xA＝3?x0－1?，则?从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y0)，因为点A，B?－yA＝3y0，?y20＝4x0，12
都在抛物线上，所以?解得x＝，y＝±，所以kl00233?－3y?＝4?4－3x?，?00＝
y0－0
＝±3. x0－1
则过点F的直线方程为y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)．
2p112
法二 结合焦点弦公式|AB|＝sin2θ及|FA|＋|FB|＝p求解，设直线AB的倾斜角|AF|11211
为θ，由题意知p＝2，F(1,0)，|BF|＝3，又|FA|＋|FB|＝p，∴3|BF|＋|BF|＝1， 416∴|BF|＝3，|AF|＝4，∴|AB|＝3. 2
2p164
又由抛物线焦点弦公式：|AB|＝sin2θ，∴3＝sin2θ， 33
∴sin2θ＝4，∴sin θ＝2，∴k＝tan θ＝±3，故选C. 答案 C 二、填空题
6．若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．
解析 由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y. 答案 x2＝12y
7．已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x0＝________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1.
根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3. 答案 3
8．(2012·陕西卷)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．
解析
3
如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为26米． 答案 26 三、解答题
9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值． 解 法一 根据已知条件，抛物线方程可设为 ?p?
y＝－2px(p＞0)，则焦点F?－2，0?.
??
2
∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|＝5， ?m2＝6p，
?故?p??
?－3＋2?2＋m2＝5，????
?p＝4，?p＝4，解得? 或?
m＝26m＝－26.??∴抛物线方程为y2＝－8x，m＝±26.
p
法二 设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，则准线方程为x＝2，由抛物线定义，p
M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，所以有2－(－3)＝5，∴p＝4. ∴所求抛物线方程为y2＝－8x，
4