发布时间 : 星期三 文章江苏省泰州中学2017届高三(下)期初数学试卷(解析版)更新完毕开始阅读178c8bf5bb1aa8114431b90d6c85ec3a86c28b02
（2）将x=待入f（x）的解析式，构造函数，通过求导
）
可知g（x）在（0，1）上单调递减，则g（x）＞g（1）=1﹣ln2＞0，即f（＞0；
（3）求导，f'（x）=
，对参数a进行分类讨论，易知a≤0，或a≥时，
f（x）至多一个零点，不符题意；当0＜a＜时，f（x）存在两个极值点x1，x2，通过零点存在定理可知，此时f（x）存在三个零点，满足条件，故a的取值范围是
．
中，取x=1得f（1）=0，∴f（1）=﹣a+b=0，
【解答】解：（1）在∴a=b， ∵
，∴f'（1）=1﹣a﹣b=1﹣2a，
，
∵f（x）的图象在x=1的切线经过点（1，0），（2，5），∴k=∴1﹣2a=5，得a=﹣2， ∴（2）令则
，
；
∴x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减， ∴x∈（0，1）时，故0＜a＜1时，f（（3）
）＞0；
，
①当a≤0时，在（0，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增，∴f（x）至多一个零点，不符题意；
②当时，在（0，+∞）上，f′（x）≤0，f（x）递减，∴f（x）至多一个零
点，不符题意； ③当
时，令f′（x）=0，解得
，
，
此时，f（x）在（0，x1）上递减，在（x1，x2）上递增，在（x2，+∞）上递减，
∵x1＜1＜x2，∴f（x1）＜f（1）＜f（x2），即f（x1）＜0，f（x2）＞0， ∵又∵
∴f（x）恰有三个不同的零点：综上所述，a的取值范围是
．
，∴
，
，使得f（x0）=0，
【点评】本题考查了利用导数研究切线方程，利用导数证明不等式以及利用导数判断函数零点的方法，着重考查了数学转化思想的应用，是难度较大的题目．
20．（16分）（2017春?海陵区校级月考）定义：从一个数列{an}中抽取若干项（不少于三项）按其在{an}中的次序排列的一列数叫做{an}的子数列，成等差（等比）的子数列叫做{an}的等差（等比）子列．
（1）记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=n2，求证：数列{a3n}是数列{an}的等差子列；
（2）设等差数列{an}的各项均为整数，公差d≠0，a5=6，若数列a3，a5，a数列{an}的等比子列，求n1的值；
（3）设数列{an}是各项均为实数的等比数列，且公比q≠1，若数列{an}存在无穷多项的等差子列，求公比q的所有值． 【考点】等差数列与等比数列的综合．
【分析】（1）运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，求得an，进而得到a3n，运用等差数列的定义，即可得证； （2）求得公比q=
，运用等比数列的中项的性质，可得a
=6?
，再由
是
等差数列的通项公式，可得n1=5+（3）设数列{a
，讨论d的取值，可得所求值；
}为数列{an}的等差子列，k∈N*，nk∈N*，公差为d，运用等
|?|q
﹣
比数列的通项公式和等差数列的定义，可得|d|=|a1|?|q
1|，讨论|q|＞1，|q|＜1，运用不等式的性质，可得矛盾，进而得到q=﹣1． 【解答】解：（1）证明：当n=1时，a1=S1=1； 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1， 上式对n=1也成立． 则an=2n﹣1．
故a3n=2?3n﹣1=6n﹣1， 当n≥2时，a3（n+1）﹣a3n=6，
故数列{a3n}是数列{an}的等差子列； （2）a3=a5﹣2d=6﹣2d， 公比q=
=
，
是数列{an}的等比子列，可得a
=6?
，
数列a3，a5，a又a则6?
=a5+（n1﹣5）d=6+（n1﹣5）d， =6+（n1﹣5）d，
，
即有n1=5+
由d为非零整数，n1为正整数，
可得d=1，n1=8或d=2，n1=11或d=﹣3，n1=6， 所以n1的值为6，8，11； （3）公比q的所有取值为﹣1． 理由：设数列{aa有|a
=a1q
﹣a
，a
}为数列{an}的等差子列，k∈N*，nk∈N*，公差为d，
=a1q
， |?|q
﹣1|．
|=|a1|?|q
当|q|＞1时，|q﹣1|≥|q|﹣1，
所以|d|=|a取nk＞1+log|q|
﹣a
|≥|a1|?|q
，所以|a
|?（|q|﹣1）． ﹣a
|＞|d|，
即|d|＞|d|，矛盾；
当|q|＜1时，|d|=|a1|?|q（|q＜2|a1|?|q取nk＞1+log|q|
即|d|＜|d|，矛盾．
所以|q|=1，又q≠1，可得q=﹣1．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考查等差数列和等比数列的通项和性质，考查推理分析能力，属于难题和易错题．
|?|q
﹣1|≤|a1|?|q
|?
|+1）
|，
，所以|a
﹣a
|＜|d|，