发布时间 : 星期三 文章步步高 江苏专用(理)2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题一 第4讲不等式及线性规划更新完毕开始阅读1794a9487fd5360cba1adb6b
3. 设A={x|x2-2x-3>0},B={x|x2+ax+b≤0},若A∪B=R,A∩B=(3,4],则a+b=
________. 答案 -7
解析 依题意,A=(-∞,-1)∪(3,+∞), 又因为A∪B=R,A∩B=(3,4],则B=[-1,4]. 所以a=-(-1+4)=-3,b=-1×4=-4, 于是a+b=-7.
x-1
4. 已知p:≤0,q:4x+2x-m≤0,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是________.
x
答案 [6,+∞)
解析 由p得:0 只需m≥(4x+2x)max,而(4x+2x)max=6,∴m≥6. 5. 函数y=a1x (a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0 (mn>0)上, - 11 则+的最小值为________. mn答案 4 解析 定点A(1,1),又A在mx+ny-1=0上, 11?11 ∴m+n=1.∴+=(m+n)??m+n? mnnm=2++≥4. mn 1 当且仅当m=n=时取等号. 2 2 6. 在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x)=的图象交于P,Q两 x 点,则线段PQ长的最小值是________. 答案 4 2 解析 过原点的直线与f(x)=交于P、Q两点,则直线的斜率k>0,设直线方程为y= xkx, 22y=kx,????x= k,?x=-k,? 由?2得?或? y=,????x?y=2k?y=-2k,∴P(2,2k),Q(-k 2,-2k)或P(-k 2,-2k),Q( k 2,2k). k ∴PQ==22 ? 2+k22 ?+?2k+2k?2 k 1k+≥4. k x≥1,?? 7. (2013·课标全国Ⅱ改编)已知a>0,x,y满足约束条件?x+y≤3, ??y≥a?x-3?, 小值为1,则a=________. 1 答案 2 解析 作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分). 易知直线z=2x+y过交点A时,z取最小值, ??x=1,由? ?y=a?x-3?,???x=1,得? ?y=-2a,? 若z=2x+y的最 ∴zmin=2-2a=1, 1解得a=. 2 x-2y+3≥0,?? 8. 已知变量x,y满足约束条件?x-3y+3≤0, ??y-1≤0, 若目标函数z=y-ax仅在点(-3,0)处取 到最大值,则实数a的取值范围为________. 1 ,+∞? 答案 ??2? 解析 如图所示,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 及直线y-ax=0,要使目标函数z=y-ax仅在点(-3,0)处取到 最大值(即直线z=y-ax仅当经过该平面区域内的点(-3,0)时, 在y轴上的截距达到最大), 1 结合图形可知a>. 2 y≥0,?? 9. 已知实数x,y满足?y-x+1≤0, ??y-2x+4≥0, 个,则a的值为________. 答案 1 若z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数 解析 依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域, 如图所示. 要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个, 则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0,于是有a=1. x+y-2≥0,?? 10.(2013·浙江)设z=kx+y,其中实数x,y满足?x-2y+4≥0,若z的最大值为12,则 ??2x-y-4≤0. 实数k=________. 答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示: 1 由图可知当0≤-k<时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时z最大,所以4k+4=12, 21 解得k=2(舍去);当-k≥时,直线y=-kx+z经过点(0,2)时z最大,此时z的最大值 2为2,不合题意;当-k<0时,直线y=-kx+z经过点M(4,4)时z最大,所以4k+4=12,解得k=2,符合题意.综上可知,k=2. 二、解答题 11.求解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 解 (1)当a=0时,原不等式变为-x+1<0,此时不等式的解集为{x|x>1}. 1x-?<0. (2)当a≠0时,原不等式可化为a(x-1)??a?1 x-?>0, 若a<0,则上式即为(x-1)??a?1 又因为<1, a 1 所以此时不等式的解集为{x|x>1或x<}. a1x-?<0. 若a>0,则上式即为(x-1)??a?1 ①当<1,即a>1时, a ?1? 原不等式的解集为?x|a ? ? 1 ②当=1,即a=1时,原不等式的解集为?; a1 ③当>1,即0 a1?? 原不等式的解集为?x|1 ? ? 综上所述, 1?? 当a<0时,原不等式的解集为?x|x1?; ? ? 当a=0时,原不等式的解集为{x|x>1}; 1?? 当0 ? ? 当a=1时,原不等式的解集为?; ?1? 当a>1时,原不等式的解集为?x|a ? ? 12.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒,现准备在该厂附近建一职工宿舍,并对宿舍进行 防辐射处理,建防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用p(万元)和宿舍与工厂的距离x(km)的关系式为p= k (0≤x≤8),若距离为1 km时,测算3x+5 宿舍建造费用为100万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知购置修路设备需5万元,铺设路面每公里成本为6万元.设f(x)为建造宿舍与修路费用之和. (1)求f(x)的表达式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用f(x)最小,并求最小值. k解 (1)根据题意得100=,所以k=800, 3×1+5800 故f(x)=+5+6x,0≤x≤8. 3x+5 800 (2)因为f(x)=+2(3x+5)-5≥80-5, 3x+5800 当且仅当=2(3x+5)即x=5时f(x)min=75. 3x+5 所以宿舍应建在离厂5 km处,可使总费用f(x)最小,最小为75万元. 1 13.已知函数f(x)=ax3-bx2+(2-b)x+1在x=x1处取得极大值,在x=x2处取得极小值, 3 且0 (2)若z=a+2b,求z的取值范围. (1)证明 求函数f(x)的导数f′(x)=ax2-2bx+2-b. 由函数f(x)在x=x1处取得极大值, 在x=x2处取得极小值,知x1、x2是f′(x)=0的两个根, 所以f′(x)=a(x-x1)(x-x2). 当x (2)解 在题设下,0 ??f′?2?>0,2-b>0,2-b>0,???? 即?a-2b+2-b<0,化简得?a-3b+2<0,???4a-4b+2-b>0,?4a-5b+2>0. 此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线: 2-b=0,a-3b+2=0,4a-5b+2=0所围成的△ABC的内部,其三个顶点分别为:46?A??7,7?,B(2,2),C(4,2). 16 z在这三点的值依次为,6,8. 716 所以z的取值范围为(,8). 7