发布时间 : 星期四 文章2018-2019学年高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2.1 抛物线及其标准方程课时作业 北师大版选修2-1更新完毕开始阅读17b573c2ba68a98271fe910ef12d2af90342a840
给哥哥发发发飒飒3.2.1 抛物线及其标准方程
[基础达标]
1.已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，则它的标准方程为( ) A．y＝8x C．x＝8y
22
B．y＝－8x D．x＝－8y
2
2
解析：选D.＝2，∴p＝4，焦点在y轴负半轴上，故其标准方程为x＝－8y.
22.抛物线x2＝8y的准线方程为( ) A．y＝－2 C．y＝－4
B．x＝－2 D．x＝－4
p2
解析：选A.其焦点为(0，2)，故准线方程为y＝－2.
3.点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l( )
A．相交 C．相离
B．相切 D．位置由F确定
解析：选B.圆心P到准线l的距离等于|PF|，∴相切． 4.如图，南北方向的公路L，A地在公路正东2 km处，B地在A北偏东60 °方向23 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )
A．(2＋3)a万元 C．5a万元
B．(23＋1)a万元 D．6万元
a解析：选C.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线L的距离即可．∵B地在A地北偏东60°方向23 km处，∴B到点A的水平距离为3 km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a万元，故选C.
5.一个动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )
A．(0，2) C．(2，0) 动圆必过定点(2，0)．
6.经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为________．
解析：设抛物线的标准方程为y＝2px或x＝－2py，把P(4，－2)分别代入得(－2)122
＝8p或16＝－2p×(－2)；∴p＝或p＝4，故对应的标准方程为y＝x和x＝－8y.
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1
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B．(0，－2) D．(4，0)
解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x＋2＝0的距离等于到焦点F(2，0)的距离，∴
给哥哥发发发飒飒答案：y＝x或x＝－8y
7.已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________． 解析：圆方程可化为(x－3)＋y＝16，圆心为(3，0)，半径为4，由题意知1＝，∴p2＝2.
答案：2
8.过点A(0，2)且和抛物线C：y2＝6x相切的直线l方程为________．
解析：当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝0，与抛物线C相切；当直线l的斜率存在时，设其方程为y－2＝kx，与y＝6x联立，消去x得y－2＝y，
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3322
即ky－6y＋12＝0，由题意可知k≠0，Δ＝(－6)－48k＝0，∴k＝，∴y－2＝x.
44即为3x－4y＋8＝0. 答案：x＝0或3x－4y＋8＝0
9.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程．
解：设所求抛物线方程为x＝－2py(p>0)，则焦点F的坐标为?0，－?.因为M(m，－2??3)在抛物线上，且|MF|＝5，
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2
2
2
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pk2
?
p??
故??
m2＝6p，
p??m＋?－3＋?＝5，2??
2
2
?p＝4，
解得?
?m＝±26.
所以所求的抛物线方程为x＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.
10.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．
解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，由
24点B在抛物线上，∴()＝－2p·(－)，p＝，
242
∴抛物线方程为x＝－ay.
0.64
将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－. 2
2
2
aaa2
aaaaa0.64∴点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3. 44a解得a>12.21，∵a取整数，∴a的最小整数值为13.
[能力提升]
1.O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则
2
给哥哥发发发飒飒△POF的面积为( )
A．2 C．23
B．22 D．4
解析：选C.设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋2＝42， ∴x0＝32，
∴y0＝42x0＝42×32＝24，∴|y0|＝26.
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∵F(2，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝×2×26＝23.
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2.从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为________．
解析：∵抛物线方程为y＝4x，则准线方程为x＝－1. 令P点坐标为P(x0，y0)，由图可知，
2
2
|PM|＝x0＋1＝5.∴x0＝4.
把x0＝4代入y＝4x，解得y0＝±4， 11
∴△MPF的面积为|PM|×|y0|＝×5×4＝10.
22答案：10
3.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．
解：∵(－2)<8×4，
∴点A(－2，4)在抛物线x＝8y的内部．
如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作
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2
2
AB⊥l于点B，
由抛物线的定义可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P，Q，A三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.
∵A(－2，4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x＝8y11
得y0＝，故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P的坐标为(－2，)．
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1?1?4．已知点A(3，2)，点M到F?，0?的距离比它到y轴的距离大. 2?2?(1)求点M的轨迹方程；
(2)是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1?1??1?解：(1)由于动点M到F?，0?的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F?，0?的2?2??2?
3
2
给哥哥发发发飒飒1
距离与它到直线l：x＝－的距离相等，由抛物线的定义知动点M的轨
2迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y＝2px(p>0)的形式，
2
p12
而＝，∴p＝1，2p＝2，故轨迹方程为y＝2x. 22
(2)如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l的距
离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A、M、N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0，2)代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2)．
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