山东省2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科) 联系客服

发布时间 : 星期日 文章山东省2017年高考数学一模试卷(解析版)(理科)更新完毕开始阅读17d4a04b7ed5360cba1aa8114431b90d6c8589fe

故m∈(0,1]时,n(m)≥n(1)=0,即em﹣1≥m,

两边取对数,得lnem﹣1≥lnm,即m﹣1≥lnm,﹣lnm≥1﹣m, 故1﹣m﹣lnm≥2(1﹣m)≥0,

∵em﹣1≥m>0,∴f(m)=m?em﹣1(1﹣m﹣lnm)≥m2,2(1﹣m)=2(m2﹣m3),

综上,f(m)≥2(m2﹣m3).

【点评】本题考查了切线方程问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,考查不等式的证明,是一道综合题.

21.(14分)(2017?枣庄一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线E:x2=4y的焦点F是椭圆

(a>b>0)的一个顶点.过点F且斜率为k(k≠

0)的直线l交椭圆C于另一点D,交抛物线E于A、B两点,线段DF的中点为M,直线OM交椭圆C于P、Q两点,记直线OM的斜率为k',满足(1)求椭圆C的方程;

(2)记△PDF的面积为S1,△QAB的面积为S2,设最大值及取得最大值时直线l的方程.

,求实数λ的

【考点】椭圆的简单性质.

【分析】(1)由题意设出直线l的方程为y=kx+1,与椭圆方程联立,求出D的坐标,利用中点坐标公式求得M的坐标,得到OM的斜率结合已知求得a值,则椭圆方程可求;

(2)由(1),知点D的坐标为(

1)),又F(0,,可得|DF|.由

,利用弦长公式求得|AB|.求出直线OM的方程为y=﹣.

由,求得P、Q的坐标,由点到直线的距离公式求得点P到直线kx﹣

y+1=0的距离,点Q到直线kx﹣y+1=0的距离

.代入三角形面积公式,整理后利用基本不等式求得实数

λ的最大值及取得最大值时直线l的方程.

【解答】解:(1)由题意可设直线l的方程为y=kx+1,

,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0.

联立

解得:,.

∴M(由∴a2=4.

,,得

),则k′=

则椭圆C的方程为;

),又F(0,1),

(2)由(1),知点D的坐标为(

∴|DF|=.

,得x2﹣4kx﹣4=0.

△=16k2+16>0恒成立.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=﹣4.

因此

由题意,直线OM的方程为y=﹣

=.

,得(1+4k2)x2﹣16k2=0.

显然,△=﹣4(1+4k2)(﹣16k2)>0恒成立,且x=

不妨设,则.

∴点P的坐标为(),而点Q的坐标为

().

点P到直线kx﹣y+1=0的距离,

点Q到直线kx﹣y+1=0的距离.

∴=.

==.

∴S1S2=∵∴

=

时,等号成立.

=.

=.

当且仅当3k2=k2+1,即k=∴实数λ的最大值为

,λ取最大值时的直线方程为.

【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与椭圆、抛物线位置关系的应用,考查逻辑推理能力与运算能力,属压轴题.