发布时间 : 星期日 文章(吉林)高三数学-吉林省延边州2017届高考数学仿真试卷(理科) Word版含解析更新完毕开始阅读183fc308473610661ed9ad51f01dc281e53a5612
【点评】本题考查抛物线的简单几何性质，三角形的两边之和大于第三条边，考查数形结合思想，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．（12分）（2017?延边州模拟）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2（1）若C=
，sinB=2sinA． ，求a，b的值；
（2）若cosC=，求△ABC的面积． 【考点】正弦定理．
【分析】（1）由已知及正弦定理可得b=2a，利用余弦定理可求a的值，进而可求b；
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC，又b=2a，利用余弦定理可解得c=2a，从而可求a，b，利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）∵C=
，sinB=2sinA，
∴由正弦定理可得：b=2a，…2分 ∵c=2
，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即：12=a2+4a2﹣2a2， ∴解得：a=2，b=4…6分 （2）∵cosC=，
17
∴sinC=又∵b=2a，
=，
∴由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣a2=4a2，解得：c=2a，…9分 ∵c=2
，可得：a=
，b=2
，
=
…12分
∴S△ABC=absinC=
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角
形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．（12分）（2017?延边州模拟）如图，在棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1B1C1内的射影点为的A1B1中点O，AC=BC=AA1，∠ACB=90°． （1）求证：AB⊥平面OCC1；
（2）求二面角A﹣CC1﹣B的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出CO⊥A1B1，A1C1=C1B1，C1O⊥A1B1，从而A1B1⊥平面CC1O，再由A1B1∥AB，能证明AB⊥平面CC1O．
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣CC1﹣B的正弦值． 【解答】证明：（1）∵点C在平面∴CO⊥A1B1，∵AC=BC，∴A1C1=C1B1， ∵O为A1B1的中点，∴C1O⊥A1B1，
18
内的射影点为A1B1的中点O，
∵C1O∩CO=O，∴A1B1⊥平面CC1O， ∵A1B1∥AB，∴AB⊥平面CC1O．
解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CO为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=1，则CC1=1，C1O=∵∠COC1=
，∴CO=
，，
=
，
），A（1，0，0），B（0，1，0），
=（0，1，0），
则C（0，0，0），C1（﹣∴
=（﹣
，
），
=（1，0，0），
设平面ACC1的法向量=（x，y，z）， 则
，取y=
，得=（0，
），
同理得平面BCC1的法向量=（设二面角A﹣CC1﹣B的平面角为θ， 则cosθ=sinθ=
==． ，
．
），
∴二面角A﹣CC1﹣B的正弦值为
【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
19．（12分）（2017?延边州模拟）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A，B，C三种商品，某网购者
19
决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A，B，C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A，B，C三件商品抢购成功的概率分别为a，b，
，已知三件商品都被抢购成功的概率为
，至
少有一件商品被抢购成功的概率为． （1）求a，b的值；
（2）若购物平台准备对抢购成功的A，B，C三件商品进行优惠减免，A商品抢B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元．购成功减免2百元，求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）由题意利用相互独立及其对立事件的概率计算公式可得
．
（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，
因为a＞b，解得． …（4分）
（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元）， 则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12． … 而
；
；
；
分）
所以X的分布列为：
20
；；；
…．（9