发布时间 : 星期二 文章2019高中数学人教A版选修1-2习题：第二章 推理与证明 2.2.2更新完毕开始阅读18a59305178884868762caaedd3383c4ba4cb468
2.2.2 反证法
课时过关·能力提升
基础巩固
1下列命题不适合用反证法证明的是( )
A.同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交 B.两个不相等的角不是对顶角 C.平行四边形的对角线互相平分
D.已知x,y∈R,且x+y>2,求证:x,y中至少有一个大于1 答案C 2当用反证法证明命题“设a,b为实数,则关于x的方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( ) A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 解析“至少有一个”的否定为“没有”. 答案A 3设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于( ) A.0 答案B 4已知数列{an},{bn}的通项公式分别为an=an+2,bn=bn+1(a,b是常数),且a>b,则两个数列中序号与数值均相同的项有( ) A.0个 C.2个
B.1个 D.无穷多个
B
解析假设存在序号和数值均相等的项,即存在n,使得an=bn,则an+2=bn+1,即an+1=bn,则bn>an,即b>a,这与已知a>b矛盾.故不存在n,使得an=bn,应选A. 答案A 5有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”.四位歌手的话只有两名是对的,则获奖的歌手是( ) A.甲 答案C B.乙
C.丙
D.丁
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6当用反证法证明:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为( ) A.a,b,c都是偶数 B.a,b,c都是奇数 C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数
解析自然数a,b,c的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数”. 答案D 7已知平面α∩平面β=直线a,直线b?α,直线c?β,b∩a=A,c∥a,求证:b与c是异面直线.若利用反证法证明,则应假设 .
解析∵空间中两直线的位置关系有3种:异面、平行、相交,∴应假设b与c平行或相交. 答案b与c平行或相交
8用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①A+B+C=90°+90°+C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故假设错误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC中有两个直角,不妨设A=B=90°.上述步骤的正确顺序为 .
解析根据反证法证题的三个步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论,知正确的顺序应为③①②. 答案③①②
9在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内的一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时应分:假设 和 两类.
解析反证法对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的对立面是∠BAP=∠CAP或∠BAP>∠CAP. 答案∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP
10已知x,y>0,且x+y>2.
中至少有一个小于 求证
分析解答本题的关键是用反证法证明时,不要忽略x>0,y>0. 证明假设
都不小于2,即≥2 ≥2. ∵x>0,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x. ∴2+x+y≥2(x+y),
即x+y≤2,这与已知x+y>2矛盾.
中至少有一个小于2. 能力提升
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1已知a,b是异面直线,如果直线c平行于直线a,那么c与b的位置关系为( ) A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线
B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线
解析假设c∥b,而由c∥a,可得a∥b,这与a,b异面矛盾,故c与b不可能是平行直线,应选C. 答案C 2设x,y,z都是正实数,a=x 则 三个数
A.至少有一个不大于2 B.都小于2 C.至少有一个不小于2 D.都大于2 解析若a,b,c都小于2,
则a+b+c<6.
而a+b+c=x ≥6,当且仅当x=y=z=1时,等号成立. 显然①与②矛盾,所以选项C正确. 答案C 3设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R同时大于零”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
① ②
D.既不充分也不必要条件
解析必要性显然.充分性:若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中有两个负数一个正数,
不妨假设P<0,Q<0,R>0. ∵P<0,Q<0,∴a+b ∴b<0,这与a,b,c是正数矛盾. 故P,Q,R同时大于零. 答案C 4对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫做函数f(x)的一个“好点”.已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在“好点”,则a的取值范围是 . 解析假设f(x)=x2+2ax+1存在“好点”, 亦即方程f(x)=x有实数根, 所以x2+(2a-1)x+1=0有实数根, 则Δ=(2a-1)2-4=4a2-4a-3≥0, 解得a≤ 或a≥ 3 故当f(x)不存在“好点”时,a的取值范围是 答案 - 5用反证法证明“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a,且x≠b”时应假设结论为 . 解析否定结论时,一定要全面否定,“x≠a,且x≠b”的否定为“x=a或x=b”. 答案x=a或x=b 6完成反证法证题的全过程: 已知{a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7}={1,2,3,4,5,6,7}. 求证:乘积p=(a1-1)·(a2-2)·…·(a7-7)为偶数. 证明:假设p为奇数,则 均为奇数. 因为奇数个奇数之和为奇数,故有 为奇数. 而 =0. 从而有0为奇数, 与0为偶数矛盾,这一矛盾说明p为偶数. 答案a1-1,a2-2,…,a7-7 (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) (a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7) ★ 7已知a,b,c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于 证明假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于 即(1-a)b 三式相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c - 又(1-a)a≤ 同理(1-b)b≤ 以上三式相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c 矛盾, 故假设不成立,即结论得证. ★ 8设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn,证明数列{cn}不是等比数列. 分析假设数列{cn}是等比数列,利用{an},{bn}是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾,即知假设不成立. 证明假设数列{cn}是等比数列,则 (an+bn)2=(an-1+bn-1)(an+1+bn+1). ∵{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,设公比分别为p,q, ① 代入①并整理,得 4