发布时间 : 星期三 文章变力做功更新完毕开始阅读18ca1121e2bd960590c67737
变力的功求法集锦
第一、平均力法
1、基本依据：如果一个过程，若F是位移l的线性函数时，即F=kl+b时，可以用F的平均值 F?(F1 +F1)/2来代替F的作用效果来计算。
2、基本方法：先判断変力F与位移S是否成线性关系，然后求出该过程初状态的力F1和末状态的力F2，再求出每段平均力和每段过程位移，然后由W?Flcos?求其功.
例1：用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉钉入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm，问击第二次时，能击入多深？（设铁锤每次做功都相等）
【解析】铁锤每次做功都是克服铁钉阻力做功，但摩擦阻力不是恒力，其大小与深度
成正比。
，可用平均阻力来代替。
，平均阻力为，
如图3所示，第一次击入深度为做功为：
第二次击入深度为 位移为
做功为：
到
，平均阻力为：
图3 两次做功相等：解后有：
练习1：例如:用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?
解：kd?d?kd?k(d?d?)d?
22∴d??(2?1)d
此题也可用图像法：因为木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，即F=kd，其图象为图5-1-2所示.
铁锤两次对钉子做功相同，则三角形OAB的面积与梯形ABCD的面积相等，
F 即1d?(kd)?1?kd?k(d?d?)??d' 22解得 d??(2?1)d
Kd+d′ kd 0 C A B D s d d+d′ 1
图5-1-2
练习2：要把长为l的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为E0，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？
分析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。 钉子在整个过程中受到的平均阻力为：
F?0?klkl? 22钉子克服阻力做的功为：
WF?Fl?12kl 2设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：
E总?nE0?12kl 2kl2所以n?
2E0例2：如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连， 另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的
水平面上。弹簧劲度系数为k，开始时处于自然长度。现用水平力缓慢拉木块，使木块前进x，求拉力对木块做了多少功？
【解析】在缓慢拉动过程中，力F与弹簧弹力大小相等，即F=kx。当x增大时，F增大，即F是一变力，求变力做功时，不能直接用Fscosα计算，可以用力相对位移的平均值代替它，把求变力做功转换为求恒力做功。
解： F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即F=kx。因该力
1与位移成正比，可用平均力 F?12kx求功，故W?F?x?2kx.
例3：如图5所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块的边长为h，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水面高为2h，现用力缓慢地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。
【解析】木块下降同时水面上升，因缓慢地把木块压到容器底上，所以压力总等于增加的浮力，压力是変力，当木块完全浸没在水中的下降过程压力是恒力。本题的解法很多，功能关系、F-S图像法、平均值法等均可求変力做功，现用平均值法求。
2图5
2
木块从开始到完全浸没在水中，设木块下降x1，水块上升x2（同体积的水块随木块的下降而上升）根据水的体积不变，则：
hh2x1?h2x2 得x1?x2 所以当木块下降时，木块恰好完全浸没在水中，
4F??F浮??gh2(x1?x2)?2?gh2x1?x1
hhF?F2h2h?1?gh4 所以W1?F?1?4242483h5h木块恰好完全浸没在水中经?h?2h??h到容器底部，压力为恒力F??gh2
44252h5所以W2?F?h??gh?h??gh4
2483故压力所做的功为： W?W1?W2??gh44第二、 图象法
0??gh21、原理：在F-l图象中，图线与坐标轴所围成的“面积”表示功，作出变力变化的F－l图象，图象与位移轴所围的“面积”即为变力做的功。力学中叫作示功图。
2、方法：对于方向在一条直线上，大小随位移变化的力，作出F-l图象，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，就求出了变力所做的功,
例1：静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块,在水平拉力F作用下,沿x轴方向运动,拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图所示,图线为半圆.则小物块运动到x0处时的动能为 ( )
A.0 B. 1/2Fmx0
C.
ππ2
Fmx0 D.x0 44答案（C）
例2：用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次进入木板的深度是多少?
分析与解：因为阻力
，以F为纵坐标，F方向上的位移x为横坐标，作出
图象，如图4所示，函数线与x轴所夹阴影部分面积的值等于F对铁钉做的功。
由于两次做功相等，故有： （面积） 图4 即
3
例3：如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁相连， 另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的 水平面上。弹簧劲度系数为k，开始 时处于自然长度。现用水平力缓慢拉
木块，使木块前进x，求拉力对木块做了多少功
此题也可用图像法：F缓慢拉木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于弹力，即F=kx，作出F-x图，求出图线与坐标轴所围成的“面积”，
结果也是W?F?x?12kx
练习：放在地面上的木块与一劲度系数k?200N/m的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1?0.2m时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2?0.4m的位移，求上述过程中拉力所做的功。
分析：由题意作出F?x图象如图3所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即
2W?1?(0.6?0.4)?40J?20J2
图3
第三、用公式求解
1、基本原理：在机车的功率不变时，根据P?Fv知，随着速度v的增大，牵引力将变小，不能用W?Fl求功，但已知功率恒定，所以牵引力在这段时间内所做的功可以根据
求出来。
2、基本方法：因为功率恒定，所以设法求出做功的时间，然后即可按时间牵引力的功。（在已知平均功率一定时，也可采用这种方法）
例1：质量为m的机车，以恒定功率从静止开始起动，所受阻力是车重的k倍，机车经过时间t速度达到最大值v，求机车的功率和机车所受阻力在这段时间内所做的功。
求出这段
【解析】机车的功率恒定，从静止开始达到最大速度的过程中，牵引力不断减小，当
速度达到最大值时，机车所受牵引力达到最小值，与阻力相等。在这段时间内机车所受阻力可认为是恒力，牵引力是变力，因此，机车做功不能直接用公式
来计算。
根据题意，机车所受阻力
根据， 该时间内机车牵引力做功为：
来求解，但可用
，当机车速度达到最大值时，机车功率为：
4