发布时间 : 星期四 文章研究生高等代数复习题更新完毕开始阅读193819cc1b5f312b3169a45177232f60ddcce76e
1.设?是数域P上线性空间V的线性变换且A2?A,证明:
（1）?的特征值为1或0；（2）A?1(0)????A(?)??V?;（3）
V?A?1(0)?A(V).
2.已知?是n维欧氏空间的正交变换，证明：?的不变子空间W的正交补W?也
是?的不变子空间．
?1234??3.已知复系数矩阵
A??0123???， （1） 求矩阵?0012?A的行列式因子、不变
?0001??因子和初等因子；（2）若当标准形.（15分） 4.已知二次型
f(x222(a?0)通
1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3过某个正交变换可化为标准形
f?y22y22，
（1）写出二次型对应的1?2?5y3矩阵A及A的特征多项式，并确定
a
的值； （2）求出作用的正交变换. 6.设
A为
n阶方
阵
，
W1??x?Rn|Ax?0?，
W?x?Rn2?|(A?E)x?0?证明
A为幂等矩阵，则Rn?W1?W.
27.若设W=
?f(x)f(1)?0,f(x)?R[x]n?,
证明：W是
R[x]n的子空间，并求出W的一组基及维数.
8.设V是一个n维欧氏空间，?1,?2,L,?m为V中的正交向量组，令
W???(?,?i)?0,??V,i?1,2,L,m?
（1）证明：W是V的一个子空间；（2）证明：W??L??1,?2,L,?m?.
?3?100??9.试求矩阵?1100?A???305?3??的特征多项式、最小多项式. ?4?13?1??10.在线性空间
Pn中定义变换?：?(x1,x2,L,xn)?(0,x2,L,xn)
（1）证明：?是Pn的线性变换.（2）求值域?(Pn)及核??1(0)的基和维数.
nn11.证明二次型f(xx2)21,L,n)?n?xi?(?xi (n?2)是半
i?1i?1正定的. 22212.求
?f(x的值，使
1,x2,x3,x4)??(x1?x2?x3)?
2x21x2?2x2x3?2x1x3?x4是正定二次型. （12分）
?11?1?13.设 A?????3?33???（1）求A的不变因子.（2）求A的若当标准形. ?2?22???2?1?11?14.设R4?的线性变换?在标准基下的矩阵为?121?1?A??????112?， ?1?1?1?12??（1）求?的特征值和特征向量， （2）求R4的一组标准正交基，使?在此基下的矩阵为对角矩阵.
15.设?1,?2,?3,?4是四维线性空间V的一组基，线性变换?在这组基下的矩阵
?1021??为?1213?A????（1）求线性变换?的秩，（2）求线性变换?核与值域. 1255???2?21?2??16.求正交变换使二次型2x21?4x21x2?x2?4x2x化为标准形，并判定该二
3次型是否正定. 17.设
e,e,L,5的一组标准正交基，
12e5是5维的欧几里得空间
R?1?e2?e3,?2??e1?e2?e4,?V3，求1?L(?1,?2,?3)，其中V的
?4e1?5e12?e5一组标准正交基.
18. 设A?(a)i?jij是n?n矩阵，其中aij??a,1,i?j （1）求detA的值；
（2）设W??XAX?0?，求W的维数及W的一组基. 19.设?是线性空间
R3上的线性变换，满足
???(x,y,z)?R3,T(?)?(x?y,y?z,z?x)?，求?在基
?(0,?1,1?),(1??,下的矩阵0,1. ),(1,1,0)20.设?是
n维线性空间V上的线性变换，?1,?2,L,?是nV的一组基.
如果?是单射，则A?1,A?2,L,A?n也是一组基.
21.二次型f(x,x,x)?2xx?2x1x3?2x2x，1）写出二次型23123f的矩阵
1A；
2）求出A的特征值与特征向量；3）求一正交变换，将
f化为标准形.
?31?1?22.求方阵A?????131???的不变因子、初等因子和若当标准形. 022??23.设V是n维欧氏空间，n
?3, 给定非零向量??V，令?(?,?)?:V?V:?a??2?证明：（1）(?,?)??是正交变换；（2）如果
?1,?2,?3,L,?n是正交基，则存在不全为零实数
k1,k2,Lkn使得
k1???k?L?k?是V上的恒等变换.
12??2n?n24.V1,V2是x1?x2?L?xn?0和xi?xi?1?0,i?1,2,L,n?1的解空
间,
则Pn?V1?V2.
25.设?和?是线性空间P[x]中依据如下方式定义的两个线性变换： ?(f(x))?f?(x)，?(f(x))?xf(x)，求?????.
26.设欧氏空间中有?,?1,?2,L,?n，??0．W1?L(?1,?2,L,?n)，
W2?L(?,?1,?2,L,?n)，证明：如果(?,?i)?0，那么
dimW1?dimW2．
27.求实二次型 f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x3?4x1x4?2x2x的规
3范形及符号差.（15分）
28.设A是一个8阶方阵，它的8个不变因子为1，1，1，1，1，??1，??1，
(??1)2(??2)(??3)3，求A 的所有的初等因子及A的若当标准形.
29.设V为数域P上的
n维线性空间，且V?L(?1,?2,L,?n)
(1）证明：{?1,?1??2,L,?1??2?L??n}是V的一组基；
(2) 若??V在基{?1,?2,L,?n}下的坐标为(n,n?1,L,21)，
求
?在基{?1,?1??2,L,?1??2?L??n}下的坐标. （14分）
30.在三维空间
P3中，已知线性变换
T在基?101??1?(?1,1?,21?),??(?31,?0下的矩阵是,1)?,110(0????，?121??求
T在基e1?(1,0,0),e2?(0,1,0),e3?(0,0,1)下的矩阵.
31.在
线性空间
Rn中
，定义
(x,y)?xAy?，
?x?(x,y22?3?1,x2),y?(y12)?R，其中A?????6?。 3?（1）证明：(x,y)是R2的内积，因而R2按此内积构成一个欧氏空间，
（2）求R2的一组标准正交基，（3）求矩阵
P，使得A?P?P.
32.
设
R4的两个
子
空
间
为
：
,1,1)V1???x1,x2,x3,x4?x1?x2?x3?x4?0?,
V2??(x1,x2,x3,x4)x1?x2?x3?x4?0?.求
V1?V2与
V1IV2的基与维数.
33.设
V是3维线性空间，?1,?2,?3为它的一个基.线性变换?:V?V，
求（1）
?在基?1,?2,?3下的矩阵； （2）求核ker?和值域Im?.
34.设V是实数域上所有n阶对称阵所构成的线性空间，对任意
A,B?V，定义(A,B)?trAB，其中trAB表示AB的迹.（1）证明：V构成一欧氏空间；（2）求使trA?0的子空间S的维数；
（3）求S的正交补
S?的维数.
35.试找出全体实2级矩阵
M2(R)所构成的线性空间到R4的一个线性同构.
36.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(?1,1,1,1)生成的子空间V1与由向量
?1?(2,?1,0,1),?2?(1,?1,3,7)生成的子空间V2的交的基和维数.
?1?22?37.设A???3?36?，
求(1)A的不变因子、行列式因子、初等因子.(2)A??2?24?的Jordan标准形.
38.设Pn?n是数域P上n?n矩阵关于矩阵加法和数乘作成的线性空间，
定义变换?(A)?A?，?A?V.（1）证明：?是Pn?n上的对合线性变换，即?是满足?2?I（恒等变换）的线性变换；（2）求?的特征值
和特征向量.
22239.已知实二次型
f(x1,x2,x3)??4x1?4x2?4x3?（1）假设
4x1x2?4x1x3?4tx2x3f(x1,x2,x3是)负定二次型，求t的值；（2）当t??1时，试用非退化线性变
换化此二次型为标准形并写出所用的线性变换的矩阵.
40.设
?1,?2,?3是
3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为
?1?12????12?1?（1）令
?证明
???1??2，?是个单位向量；（2）若
??2?16?????1??2?k?3与?正交，求k.
41.已知W???ab??1????00??|a,b?R??,W2?????a10??2?2??c0??|a1,c1?R?1?是
R的
两个子空间，求W1?W2,W1?W2的一个基和维数.
42. V为定义在实数域上的函数构成的线性空间，令 证明：W1、W2皆为V的子空间，且V?W1?W2.
43.由三个函数1,cost,sint生成的实线性空间记为V, 求线性变换T:VaV,f(t)af(t??)的迹，行列式和特征多项式.
3?1???2??44.求?-矩阵?????????的初等因子和不变因子. ?1??2?2??2??45.设
?为n维欧氏空间V中一个单位向量，定义V的线性变换?如下：
A????2(?,?)?,???V.证明：??为第二类的正交变换
47.在线性空间P2×2
中，
(1)求L(A1,A2)L(B1,B2)的维数与一组基； (2)求L(A1,A2)?L(B1,B2)的维数与一组基n. 47’
.设A为
维线性空间V的一个线性变换，且A2??(恒等变换)，
证明:(1) A的特征值只能是1或 -1；(2)V?V1?V?1.
48.已知二次型f(x2221,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)通
过正交变换化为标准形f?y221?2y2?5y2，求
3a的值及所作的正交变换．
49.
P3中，
线性变换?关于基?1?(?1,1,1)，?2?(1,0,?1)，
?3?(0,1,1)?101的矩阵为A????110??（1）求
??关于标准基
?121?,????12,?3的矩阵；
（2）设
???1?6?2??3,???1??2??3,求?(?),?(?)关于基
{?1,?2,?3}的坐标.
50.设
?是
R3的线性变换,
（1）求值域Im(?)的一个基和维数；（2）求核Ker(?)的一个基和维数．
51.（1）实数域上3阶对称矩阵按合同关系可分为几类；
（2）某四元二次型有标准形2y22221?3y2?y3?4y4，求其规范形.
?300?52.设A???0?14??（1）求A的最小多项式；（2）求A的初等因子；（3）求A???1?13??的若当标准形. 53.设?1?(1,1,?1,?1),?2?(1,?1,?1,1),?3?(1,?1,1,?1)，
在
R4中求与?1,?2,?3同时正交的单位向量（内积按通常的定义）.
54.已知Pn?n的两个子空间V?AA??A?Pn?n??n?n?1?????，V2???AA???A?P??， 证明：Pn?n?V1?V2．
55.求下面矩阵A的列空间在R4中的正交补的一个标准正交基.（15分）
56.设
A为n阶方阵，Wnn1??x?R|Ax?0?，W2??x?R|(A?E)x?0?
证明：A为幂等矩阵当且仅当Rn?W1?W2.
57.设A是数域P上线性空间V的线性变换，?1,?2是
A的特征值，且
?1??2，
V?,1V?分别是对应于2?1,?2的特征子空间，试证：V?1?V?2是直和.
58.设?1,?2,?3,?4是4维空间
V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩
阵为
??1021???1213???1255??，求A的核和值域. ?2?21?2??59.
已
知
向
量
???1,2,4,3?T,?T9?T,?T12??1,?1,?6,6?,?3???2,?1,2,?4??1,1,?2,7?,
???4,2,4,a?T，（1）求线性子空间W?L(?1,?2,?3,?4)的维数与一
个基； （2）求
a 的值，使得??W ，并求?在（1）所选基下的坐标.