发布时间 : 星期一 文章噶米高中数学知识要点重温(25)导数的应用与复数更新完毕开始阅读19ba8c5c77a20029bd64783e0912a21614797f98
高中数学知识要点重温（25）导数的应用、复数
1.用导数研究函数的单调性。y?f(x)在区间(a,b)内可导，若f'(x)>0，则y?f(x)在
(a,b)上递增;若f'(x)<0，则y?f(x)在(a,b)上递减. 注意：f'(x)为正（负）是函数f(x)递增（减）充分不必要条件。如果函数f(x)在区间（a,b）内可导且不是常函数，上述结论可以改进为：f(x)在区间（a,b）上单调递增?f(x)≥0在（a,b）上恒成立；f(x)在区间（a,b）上单调递减?f(x)≤0在（a,b）上恒成立 [举例1]已知函数f?x??x?2//a(x?0,a?R)若f?x?在?2,???是增函数，求实数a的范x围。
解析：f(x)?2x?3/a3a?2x≥0在上恒成立在?2,???上恒成立 2,?????2x而2x在?2,???上的最小值为16，故a?16。
[举例2]已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数f/(x)在R上也可导，且其导函数[f/(x)]/<0， 则y=f(x)的图象可能是下图中的 （ C ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④
yyyy
x
O①xO②xO③O④x
解析：由[f/(x)]/<0知f/(x)在R上递减，即函数y=f(x)的图象上从左到右各点处的切线斜率递减，不难看出图象②③满足这一要求。
[举例3] f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf/(x)+f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有 （ ） （07陕西理11） A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b) C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
解析：xf/(x)+f(x)≤0? [xf(x)]/ ≤0?函数F(x)= xf(x) 在（0，+∞）上为常函数或递减， 又0 11??0 ② 22ab①②两式相乘得： f(a)f(b)??0? af(b) ≤bf(a)，故选A。 ab注：本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感。 [巩固1]函数f(x)?xlnx?ax,(x?0)在[e,??）上递增，a的取值范围是 。 [巩固2设f?(x)是函数f(x)的导函数，将y?f(x)和y?f?(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） （07浙江理8） [巩固3]函数f(x)、g(x)在R上可导，且f/(x)>g/(x),若a>b，则 （ ） A．f(a)>g(b) B．g(a) C．f(a) -f(b) //2．“极值点”不是“点”，而是方程f(x)?0的根。x0是函数f(x)极值点则f(x0)?0；但是 y y y y O A． x O B． x O C． x O D． x f/(x0)?0，x0未必是极值点（还要求函数f(x)在x0左右两侧的单调性相反）；若 f/(x0)?0 （或f/(x0)?0）恒成立，则函数f(x)无极值。 [举例1] 已知函数f(x)?13ax?bx2?(2?b)x?1在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得3极小值，且0?x1?1?x2?2．（1）证明a?0；（2）若z=a+2b,求z的取值范围。 2解析：函数f(x)的导数f?(x)?ax?2bx?2?b．（Ⅰ）由函数f(x)在x?x1处取得极大值， 在x?x2处取得极小值，知x1，x2是f?(x)?0的两个根．所以f?(x)?a(x?x1)(x?x2)；当 x?x1时，f(x)为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0． ?f?(0)?0?2?b?0??（Ⅱ）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0． ?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0．此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线： ?4a?5b?2?0?2?b?0，a?3b?2?0，4a?5b?2?0所围成的△ABC的内部，由“线性规划”的知识容 易求得：z的取值范围为??16?，8?． ?7?322[举例2] 已知函数f(x)?x?ax?bx?a在x?1处有极值10,则f(2)? 解析： f(x)?3x?2ax?b?0，∴f(1)=2a?b?3?0 ① '2/?a??3?a?4f(1)?1?a?b?a2?10 ② 由①②得：?或? ?b??11?b?3当??a??3'22时，f(x)?3x?6x?3?3(x?1)?0，此时函数f(x)无极值，舍去； ?b?3当??a?4/2时f(x)?3x?8x?11，函数f(x)在x?1处左减右增，有极小值； ?b??11此时∴f(2)?18 。注：在解决“已知函数的极值点求参变量”的问题时，为避免“增根”，需将求出的参变量的值代入f(x)检验其是否为完全平方式，若是则函数无极值（单调），否则有极值；也可以对f(x)再次求导，看f负则有极大值。 [巩固1]已知f(x)?ax?bx?cx在区间[0,1]上是增函数,在区间(??,0),(1,??)上是减函数,又f?()?32////(x0)的值，为0则无极值，为正则有极小值，为 123.(Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,求m22的取值范围. [举例2]设函数f(x)?ax?blnx，其中ab?0．证明：当ab?0时，函数f(x)没有极值点；当ab?0时，函数f(x)有且只有一个极值点，并求出极值．（07高考山东文21） 3.求y?f(x)在闭区间内的最值的步骤：（1）求导数f'(x)（2）求导数方程f'(x)=0的根（3）检查f'(x)在根的左右值的符号，列表求得极值；也可通过解不等式f'(x)≥0及 f'(x)≤0确定函数y?f(x)在给定区间内的单调情况，再确定函数的极值；最后将极值与 区间端点的函数值比较以确定最值。 [举例1] 设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值． 323]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围． （Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的x?[0，2解析：（Ⅰ）f?(x)?6x?6ax?3b，由f?(1)?0，f?(2)?0．解得a??3，b?4． 222（Ⅱ）f(x)?c在[0，3]上恒成立即c?fmax(x)，x?[0，3] 由（Ⅰ）可知，f(x)?2x?9x?12x?8c，f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)． 当x?(01)，时，f?(x)?0；当x?(1，2)时，f?(x)?0；当x?(2，3)时，f?(x)?0． 即f(x)在[0，1]上递增，[1，2]上递减，[2，3]上递增；∴当x?1时，f(x)取得极大值 322f(1)?5?8c，又f(3)?9?8c．故当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c． 于是有：9?8c?c，解得 c??1或c?9，因此c的取值范围为(??，?1)[举例2] 已知定义在正实数集上的函数f(x)?2(9，??)。 12x?2ax，g(x)?3a2lnx?b，其中2a?0．设两曲线y?f(x)，y?g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．用a表示b，并 求b的最大值； 解析：设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0，y0)处的切线相同． 3a2，由题意f(x0)?g(x0)，f?(x0)?g?(x0)． ∵f?(x)?x?2a，g?(x)?x?122x?2ax?3alnx0?b，00?23a2?即?由x0?2a?得：x0?a，或x0??3a（舍去）． 23ax0?x0?2a?，?x0?即有b?125a?2a2?3a2lna?a2?3a2lna． 221522令h(t)?t?3tlnt(t?0)，则h?(t)?2t(1?3lnt)．于是当t(1?3lnt)?0，即0?t?e321??时，h?(t)?0；当t(1?3lnt)?0，即t?e时，h?(t)?0．故h(t)在?0，e3?为增函数， ??13?1??1?3233?∞?为减函数，∴h(t)在(0，?∞)的最大值为h?e??e3． 在?e，????2[巩固1] 设函数f(x)?ln(2x?3)?x，求f(x)在区间??，?的最大值和最小值． 44[巩固2] 已知函数f(x)?ax?6ax?b，其图象为曲线C （1） 直线l:y=x+1与曲线C相切于x轴上一点，求的a、b的值 322?31???