发布时间 : 星期四 文章2020届高考数学（理）课标版二轮复习训练习题：重难考点专题三第3讲 空间向量与立体几何更新完毕开始阅读1a03d4110408763231126edb6f1aff00bfd570c2
第3讲 空间向量与立体几何
解答题
1.(2019广东佛山模拟)如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD为菱
形,∠BAD=60°,AB=2,DF=BE=1,AF=CE=√3,且平面ADF⊥底面ABCD,平面BCE⊥底面ABCD.
(1)证明:EF⊥平面ADF; (2)求二面角A-EF-C的余弦值.
解析 (1)证明:分别过点E,F作BC,AD的垂线,垂足分别为点N,M,连接MN. 因为平面ADF⊥底面ABCD,平面ADF∩底面ABCD=AD,FM⊥AD,FM?平面ADF, 所以FM⊥平面ABCD,又MN?平面ABCD, 所以FM⊥MN.
同理可证,EN⊥平面ABCD,所以EN⊥MN,所以FM∥EN. 过点B作BG⊥AD,垂足为G.
在Rt△AGB中,∠BAD=60°,AB=2,则AG=1.
√31易知∠ADF=60°,所以在Rt△FMD中,MD=1,FM=,所以GM=. 222√3同理可得BN=1,EN=,所以GM=BN,FM=EN. 22又GM∥BN,FM∥EN,所以四边形BNMG为平行四边形,四边形FMNE为平行四边形,所以MN∥GB,MN∥EF. 从而MN⊥AD,又FM∩AD=M,
所以MN⊥平面ADF,所以EF⊥平面ADF.
(2)以M为坐标原点,MA,MN,MF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系M-xyz,如图所示.
由(1)知MN=GB=√3,
√3√33
则A(3,0,0),F(0,0,),E(0,√3,),C(-,√3,0), 2222√3√33
??? =(-3??? =(0,√3,0),?所以?????????,0,),??? ????=(-,√3,-). 2222设平面AEF的法向量为
√33
???? =0,y=0,-x1+z1=0,??·?AF2m=(x1,y1,z1),则{即{2解得{1
z=3x,√??·???? FE=0,11√3y1=0,
令z1=√3,则x1=1,y1=0,所以m=(1,0,√3). 设平面EFC的法向量为
???? -x+3y-n=(x2,y2,z2),则{??·FC=0,即{22√2
??·???? FE=0,√3y2=0,
3
√32z2=0,
解得{
y2=0,
z2=-√3x2,
令z2=-√3,则x2=1,y2=0,所以n=(1,0,-√3).
??·??1-3
从而cos
(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
解析 本题主要考查空间点、线、面位置关系,直线与平面所成的角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力.本题考查了逻辑推理和直观想象的核心素养. (1)证明:连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,
所以A1E⊥AC,
又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E?平面A1ACC1, 平面A1ACC1∩平面ABC=AC, 所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC. 又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F. 所以BC⊥平面A1EF. 因此EF⊥BC.
(2)取BC的中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.
由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.
由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.
连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角), 不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=2√3,EG=√3.
1G√15由于O为A1G的中点,故EO=OG=??2=2,
所以
????2+O??2-E??23
cos∠EOG=2????·????=5.
因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是3. 53.(2019河北衡水统一联考)如图,在多面体 ABCDFE中,四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,四边形ABEF是直角梯形,∠FAB=90°,AF∥BE,AF=AB=2BE=2. (1)证明:CE∥平面ADF;
(2)若平面ABCD⊥平面ABEF,H为DF的中点,求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值.
解析 (1)证法一:因为四边形ABCD是菱形,所以AD∥BC.又因为
AF∥BE,AF∩AD=A,BC∩BE=B,所以平面ADF∥平面BCE.因为CE?平面BCE,所以CE∥平面ADF.
证法二:取AF的中点M,连接DM,EM,如图所示.
由题意知AM=BE,且AM∥BE,所以四边形ABEM为平行四边形,即ME??AB. 因为四边形ABCD是菱形,所以AB??DC,所以ME??DC,即四边形DCEM为平行四边形,所以DM∥CE.
又DM?平面ADF,CE?平面ADF,所以CE∥平面ADF.
(2)取CD的中点N,连接AN,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,可得AN⊥AB.
因为平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,AF⊥AB,AF?平面ABEF,所以AF⊥平面ABCD.
以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.
故A(0,0,0),C(√3,1,0),D(√3,-1,0),F(0,0,2),H(√23,-1,1), 2???? =(√23,-1??? =(√3,1,0). 则????,1),?????
2设平面ACH的法向量为n=(x,y,z),
????? x-y+z=0,
则{??·AH=0,即{22
???? =0,??·?AC√3x+y=0.
√31
令x=1,可得n=(1,-√3,-√3).
易知平面ABEF的一个法向量为m=(1,0,0). 设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为θ,
√7·??|√7则cos θ=|??=,即所求锐二面角的余弦值为. |??||??|77