发布时间 : 星期六 文章2020届高考数学(理)课标版二轮复习训练习题:重难考点专题三第3讲 空间向量与立体几何更新完毕开始阅读1a03d4110408763231126edb6f1aff00bfd570c2
4.(2019陕西第二次教学质量检测)如图所示,等腰梯形ABCD的底角∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2. (1)证明:平面ABE⊥平面EBD;
(2)点M在线段EF上,试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为√43.
解析 (1)证明:∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD,ED?平面ADEF, ∴ED⊥平面ABCD, ∵AB?平面ABCD, ∴ED⊥AB.
∵AB=1,AD=2,∠BAD=60°, ∴BD=√1+4-2×1×2cos60°=√3, ∴AB2+BD2=AD2, ∴AB⊥BD.
又BD?平面EBD,ED?平面EBD,BD∩ED=D, ∴AB⊥平面EBD.
又AB?平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.
(2)以B为坐标原点,BA,BD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系,
√3则A(1,0,0),B(0,0,0),C(-1,,0),D(0,√3,0),E(0,√3,2),F(1,0,1), 22
√3???? =(1???? =(1,0,0),????? =(0,0,2),??????? =(1,-√3,-1),???? =(0,√3,2). 则????,,0),????????????
22
????? =λ???? =(λ,-√3λ,-λ)(0≤λ≤1), 设????????????? =???? +????????? =(λ,√3-√3λ,2-λ). 则????????
设平面ECD的法向量为m=(x1,y1,z1),平面MAB的法向量为n=(x2,y2,z2),
?????
则{??·CD=0,即{2x1+2y1=0,
???? =0,??·?DE2z1=0,
1
√3取y1=1,则m=(-√3,1,0);
x=0,???? =0,??·?BA
{即{2取y2=2-λ,则
?????? =0,??x2+(√3-√3λ)y2+(2-λ)z2=0,??·BM
n=(0,2-λ,√3λ-√3).
∵平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为√43,
|??·??|∴|cos
5
=√43,解得λ=1或λ=(舍), 24∴点M在线段EF的中点时,平面MAB与平面ECD所成的二面角的余弦值为√43.