发布时间 : 星期四 文章高中数学-排列组合概率综合复习更新完毕开始阅读1a359524f66527d3240c844769eae009591ba27a
高中数学
排列组合二项式定理与概率统计
重点知识回顾 1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关. ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题. ⑶ 排列与组合的主要公式 ①排列数公式：An?nmn!?n(n?1)???(n?m?1) (m≤n) (n?m)!An=n! =n(n―1)(n―2) ·…·2·1. ②组合数公式：Cn?mn!n(n?1)???(n?m?1)? (m≤n). m!(n?m)!m?(m?1)?????2?1mn?m012nn③组合数性质：①Cn?Cn(m≤n). ②Cn?Cn?Cn?????Cn?2 02413n?1③Cn?Cn?Cn????Cn?Cn?????2 2.二项式定理 ⑴ 二项式定理 (a +b)n =Cnan +Cnan1b+…+Cnanrbr +…＋Cnbn，其中各项系数就是组合数Cn，展开式共有n+1项，第r+1项是Tr+1 =Cnanrbr. ⑵ 二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项Tr+1=Cnanrbr(r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 ⑶ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即Cn= Cn (r=0,1,2,…,n). rn?rr－01－r－nrr－ 1 / 7
nn?12；②若n是偶数，则中间项(第?1项)的二项公式系数最大，其值为Cn若n是奇数，则中间两项(第22n?3项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为Cn2= Cn2. 2③所有二项式系数和等于2n，即Cn+Cn＋Cn+…+Cn=2n. ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即Cn+Cn+…=Cn+Cn+…=2n1. 3.概率 （1）事件与基本事件： 0213―nn?1n?1012n?随机事件:在条件S下,可能发生也可能不发生的事件? 事件??不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件 ?确定事件?必然事件:在条件S下,一定会发生的事件?? 基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示． （2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件： （4）古典概型与几何概型： 古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件”的概率模型． 几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例． 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个． （5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 对立事件 发生，且必有一个发生 互斥事件 发生 事件A与B不可能同时两事件互补 一是对立事件 事件 定义 事件A与B不可能同时两事件交集为空 与B必为互斥事件； 事件A与B互斥，但不集合角度理解 关系 事件A与B对立，则A 2 / 7
古典概型的概率计算公式：P(A)?A包含的基本事件的个数． 基本事件的总数构成事件A的区域长度(面积或体积)． 试验全部结果构成的区域长度(面积或体积) 几何概型的概率计算公式：P(A)? 两种概型概率的求法都是“求比例”，但具体公式中的分子、分母不同． （6）概率基本性质与公式 ①事件A的概率P(A)的范围为：0≤P(A)≤1． ②互斥事件A与B的概率加法公式：P(AUB)?P(A)?P(B)． ③对立事件A与B的概率加法公式：P(A)?P(B)?1． （7） 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是pn(k) = Cnpk(1―p)nk. 实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n的展开式的第k+1项. （8）独立重复试验与二项分布 ①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立； ②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为kkP(X?k)?Cnp(1?p)n?k，(k?0，1，2，L，n)．此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成k―功概率． 三、考点剖析 考点一：排列组合 1、解排列组合题的基本思路： ① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”； 2、解排列组合题的基本方法： ① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 3 / 7
② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 ③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。 ④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 ⑤ 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。 ⑥ 捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。 ⑦ 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。 【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。 例1、12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A．C8A3 22 B．C8A6 26 C．C8A6 22 D．C8A5 22例2、12．如图，一环形花坛分成A、B、C、D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为 (A)96 (C) 60 (B) 84 (D) 48 例3、某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种．（用数字作答） 考点二：二项式定理 【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。对二项式定理的考查主要有以下两种题型： 1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式； 2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别； 【命题规律】 历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住二项式定理及 4 / 7