发布时间 : 星期三 文章2020高考数学大一轮复习第九章平面解析几何11第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点定值探索性问题练习理更新完毕开始阅读1a90bdf911661ed9ad51f01dc281e53a590251dc
第2课时 定点、定值、探索性问题
[基础题组练]
1．已知直线l与双曲线－y＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，
4→→
则OM·ON的值为( )
A．3 C．5
B．4
D．与P的位置有关
2
2
x2
2
解析：选A.依题意，设点P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中x0－4y0＝4，则直线l的方程是
x0x1
－y0y＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x. 42
x＝2???2?x＝2→→?①当y0＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.由?x，得，此时OM·ON＝2
?y＝±1－y＝0???4
→→
(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，OM·ON＝3.
1
y＝（xx－4）??4y1
②当y≠0时，直线l的方程是y＝(xx－4)．由?，得(4y－x)x4yx??4－y＝0
0
0
0
00
2
2
0
20
2
2
2
2
2
2
＋8x0x－16＝0(*)，又x0－4y0＝4，因此(*)即是－4x＋8x0x－16＝0，x－2x0x＋4＝0，x1x2＝13→→
4，OM·ON＝x1x2＋y1y2＝x1x2－x1x2＝x1x2＝3.
44
→→
综上所述，OM·ON＝3，故选A.
→→→2
2．已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋FC＝0，则
1
kABkACkBC＋
1
＋1
＝________．
→→→?p?解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F?，0?，由FA＋FB＝－FC，得y1＋y2＋y3＝
?2?0.因为kAB＝
y2－y12p2p2p111y1＋y2y3＋y1
＝，所以kAC＝，kBC＝，所以＋＋＝＋＋x2－x1y1＋y2y1＋y3y2＋y3kABkACkBC2p2py2＋y3
＝0. 2p答案：0
3．(2019·合肥市第二次质量检测)已知抛物线C1：x＝2py(p＞0)和圆C2：(x＋1)＋y＝2，倾斜角为45°的直线l1过C1的焦点，且l1与C2相切．
2
2
2
- 1 -
(1)求p的值；
→
(2)动点M在C1的准线上，动点A在C1上，若C1在A点处的切线l2交y轴于点B，设MN＝→→
MA＋MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
解：(1)依题意，设直线l1的方程为y＝x＋，
2因为直线l1与圆C2相切，
|－1＋|
2p所以圆心C2(－1，0)到直线l1：y＝x＋的距离d＝2＝2，即＝2， 2
21＋（－1）2解得p＝6或p＝－2(舍去)．所以p＝6.
(2)证明：法一：依题意设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x＝12y，所以y＝，12所以y′＝，
6
设A(x1，y1)，则以A为切点的切线l2的斜率为k＝，
61
所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋y1.
6
121
令x＝0，则y＝－x1＋y1＝－×12y1＋y1＝－y1，即B点的坐标为(0，－y1)，
66→→
所以MA＝(x1－m，y1＋3)，MB＝(－m，－y1＋3)， →→→
所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m，6)，
→→→
所以ON＝OM＋MN＝(x1－m，3)，其中O为坐标原点．设N点坐标为(x，y)，则y＝3，所以点N在定直线y＝3上．
法二：设M(m，－3)，由(1)知抛物线C1的方程为x＝12y，①
12?12?设l2的斜率为k，A?x1，x1?，则以A为切点的切线l2的方程为y＝k(x－x1)＋x1，② 12?12?122
联立①②得，x＝12[k(x－x1)＋x1]，
12因为Δ＝144k－48kx1＋4x1＝0，所以k＝，
6112
所以切线l2的方程为y＝x1(x－x1)＋x1，
61212
令x＝0，得B点坐标为(0，－x1)，
12
2
2
2
2
p|－1＋|2
ppx2
xx1
x1
- 2 -
12?→?12?→?
所以MA＝?x1－m，x1＋3?，MB＝?－m，－x1＋3?，
1212????→→→
所以MN＝MA＋MB＝(x1－2m，6)，
→→→
所以ON＝OM＋MN＝(x1－m，3)，其中O为坐标原点， 设N点坐标为(x，y)，则y＝3， 所以点N在定直线y＝3上．
4．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋
4
x2
y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m????＝?，y1?，n＝?，y2?，m·n＝0. ?2??2?
1(1)求证：k1·k2＝－；
4
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由． 解：(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1x2≠0， 因为m·n＝0，所以所以k1·k2＝x1x2
x1x2
4
＋y1y2＝0，
y1y21
＝－. x1x24
(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，
y1y21x212
由＝－，得－y1＝0， x1x244
又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y1＝1，
4所以|x1|＝2，|y1|＝
2， 2
x21
2
1
所以S△OPQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.
2
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．
y＝kx＋b，??2
222
由?x得(4k＋1)x＋8kbx＋4b－4＝0， 2
＋y＝1??4Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0，
－8kb4b－4所以x1＋x2＝2，x1x2＝2. 4k＋14k＋1因为
2
x1x2
4
＋y1y2＝0，
- 3 -
所以
x1x2
4
＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b－4k＝1，满足Δ>0.
2222
1|b|14k＋1－b2
所以S△OPQ＝·|PQ|＝|b|（x＋x）－4xx＝2|b|·＝1. 121222224k＋11＋k所以△OPQ的面积S为定值．
[综合题组练]
1
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两
22条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
x2
?5?(2)若以E?0，?为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的
?2?
面积．
1??2
解：(1)证明：设D?t，－?，A(x1，y1)，则x1＝2y1.
2??1
2
由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，故＝x1.
x1－ty1＋
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
?1?所以直线AB过定点?0，?. ?2?
1
y＝tx＋，?21?(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由?可得x－2tx－1＝0. 2x??y＝2
2
2
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t＋1， |AB|＝1＋t|x1－x2|＝
1＋t×（x1＋x2）－4x1x2＝2(t＋1)．
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝t＋1，d2＝122
因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d1＋d2)＝(t＋3)t＋1.
21?2?设M为线段AB的中点，则M?t，t＋?. 2??
→→→→22
由于EM⊥AB，而EM＝(t，t－2)，AB与向量(1，t)平行，所以t＋(t－2)t＝0.解得t＝0
- 4 -
2
2
2
2
2
2
2
t2＋1
.