发布时间 : 星期日 文章2019-2020学年四川省乐山市高二(上)期末数学试卷(理科)更新完毕开始阅读1ab84e22ce1755270722192e453610661ed95a3f
的考查．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17．（10分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．
【分析】欲证C1，O，M三点共线，只须证它们都在平面A1ACC1与平面DBC1的交线上，根据立体几何中的公理可知，只要说明C1，O，M三点是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点即可．
【解答】证明：如图，因为C1∈平面A1ACC1，且C1∈平面DBC1，
∴C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点，又因为M∈AC，所以M∈平面A1ACC1， ∵M∈BD，∴M∈平面DBC1，∴M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点， ∴C1M是平面A1ACC1与平面DBC1交线，
∵O是A1C与平面DBC1的交点，∴O∈平面A1ACC1，O∈平面DBC1， ∴O也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点， ∴O∈直线C1M，即C1，O，M三点共线．
【点评】本题主要考查了平面的基本性质及推论，做题时目标明确，知道要证什么就需证什么，掌握基本方法．
18．（12分）已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x+1截得的弦长为求此抛物线方程．
【分析】设出抛物线的方程，直线与抛物线方程联立消去y，进而根据韦达定理求得x1+x2的值，进而利用弦长公式求得|AB|，由AB＝
，
可求p，则抛物线方程可得．
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【解答】解：由题意可设抛物线的方程y2＝2px（p≠0），直线与抛物线交与A（x1，y1），B（x2，y2） 联立方程
可得，4x2+（4﹣2p）x+1＝0
则，
，y1﹣y2＝2（x1﹣x2） ＝
＝
＝
＝
解得p＝6或p＝﹣2
∴抛物线的方程为y2＝12x或y2＝﹣4x
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．解题的关键是对抛物线基本性质和标准方程的熟练应用
19．（12分）已知点A（2，a），圆C：（x﹣1）2+y2＝5．
（Ⅰ）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；
（Ⅱ）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2
，求实数a的值．
【分析】（Ⅰ）由题意知点A在圆C上，代入方程求出a的值，利用垂直关系求出切线的斜率，写出切线方程；
（Ⅱ）由题意设出直线l的方程，利用直线l过点A和圆心到直线的距离列出方程组，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由于过点A（2，a）只能作一条圆C的切线， 则点A在圆C上；
所以（2﹣1）2+a2＝5，解得a＝±2； 当a＝2时，A（2，2），kCA＝
＝2，所以切线的斜率为﹣，
所求切线方程为y﹣2＝﹣（x﹣2），即x+2y﹣6＝0； 当a＝﹣2时，A（2，﹣2），kCA＝
＝﹣2，所以切线的斜率为，
所求切线方程为y+2＝（x﹣2），即x﹣2y﹣6＝0； （Ⅱ）由题意，设直线l的方程为x+y＝b，
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因为直线l过点A，所以2+a＝b，即a＝b﹣2，…① 又圆心C到直线x+y＝b的距离为d＝
，
所以+＝5，…②
由①②联立，解得所以a＝1或a＝﹣3．
或；
【点评】本题考查了圆的切线方程以及直线与圆的位置关系应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC边的中点，F是PA边上的中点，连接AE、EF． （1）求证：AE⊥PD； （2）求证：EF∥平面PCD．
【分析】（1）由ABCD是菱形，得到AE⊥BC，AE⊥AD．再利用PA⊥平面ABCD，得到PA⊥AE，从而证得AE⊥平面PAD，所以AE⊥PD；
（2）取AC的中点为O，连接EO，由中位线定理得EO∥AB，则EO∥CD，FO∥PC，所以平面EOF∥平面PCD，再利用面面平行得到线面平行．
【解答】解：（1）证明：∵ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AE⊥BC，∴AE⊥AD．
又PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE， 由PA∩PD＝P，∴AE⊥平面PAD，而PD?平面PAD， ∴AE⊥PD；
（2）如图，取AC的中点为O，连接EO，
则EO，FO分别△ABC，△PAC的中位线，∴EO∥AB，则EO∥CD，FO∥PC， 又∵PC∩CD＝C，
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则平面EOF∥平面PCD， 而EF?平面EOF， 故EF∥平面PCD．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直和平行的位置关系，是中档题． 21．（12分）已知椭圆C：B两点，|AB|＝2． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x＝4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；
（Ⅱ）设P（m，n），可得
+n2＝1，可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N+
＝1（a＞b＞0）的离心率为
，椭圆C与y轴交于A、
（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为﹣1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝又a2﹣c2＝1，解得a＝2，c＝即有椭圆的方程为
+y2＝1；
+n2＝1， ，
，2b＝2，即b＝1，
（Ⅱ）设P（m，n），可得即有n2＝1﹣
，
由题意可得A（0，1），B（0，﹣1），设M（4，s），N（4，t）， 由P，A，M共线可得，kPA＝kMA，即为
＝
，
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