发布时间 : 星期四 文章九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题6更新完毕开始阅读1acc3c5dbe23482fb4da4c19
九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题6
分析：（1）、令直线y=﹣2x+4的x=0即可得出C点坐标，再根据A、C两点坐标便可求出B点坐标；
（2）、将B、C两点的坐标得到代入二次函数y=﹣x2+bx+c即可求得二次函数解析式； （3）、连接AC，先证△ACD为等腰三角形，即可证明AP⊥CD （4）、存在，先证明△MNA与△COD相似，即可求得M点坐标． 解答：解：（1）y=﹣2x+4，当x=0时，y=4，∴C（0，4） 在矩形OABC中，BC=OA=3，AB=OC=4． ∴B（﹣3，4）
（2）∵二次函数y=﹣x+bx+c的图象经过B、C两点，
2
∴
∴
∴y=﹣x2﹣\\frac{3}{2}x+4．
（3）证明；连接AC，在Rt△AOC中，AC=∵y=﹣2x+4，当y=0时，x=2． ∴D（2，0）
∵AD=OA+OD=3+2=5． ∴AD=AC．
∵P是CD的中点， ∴AP⊥CD．
=
=5
（4）存在，理由：假设四边形APCM为矩形，过点M做MN⊥x轴于N点， 在Rt△COD中，CD===2．∴CP=AM=CD=∵MA∥CD∴∠MAN=∠CDO∵∠MNA=∠COD=90°，∵△MNA～△COD． ∴
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∴MN=4×=2．
NA=2×=1 ∵ON=OA+AN=4 ∴M（﹣4，2）
把x=﹣4代入y=﹣x﹣x+4中， y=2
∴点M在抛物线上
∴存在这样的点M，使四边形APCM为矩形．
点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及的到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的证明及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，同学们要加强训练，属于中档题．
2
18、（2009?辽宁）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax﹣x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=﹣2．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=t?S，当0＜t＜4时，W是否有最大值如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；
探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴是直线x=
）
2
\\frac{3}{2}
考点：二次函数综合题；二次函数的图象；二次函数图象与几何变换。 专题：压轴题。 分析：（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；
（2）①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM﹣SAOP﹣SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．
②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况： （1）当∠P1DA=90°时；（2）当∠P2AD=90°时；（3）当AP3D=90°时；思路搞清晰问题就好解决了．
2
解答：解：（1）∵抛物线y=ax﹣x+3（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2．
∴，
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∴，
∴． ∴D（﹣2，4）．
（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．
∵抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C， ∴A（﹣6，0），B（2，0），C（0，3）， ∴OA=6，OC=3．（4分）
当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，
则DM=2，OM=4． ∵P（0，t），
∴OP=t，MP=OM﹣OP=4﹣t．
∵S三角形PAD=S梯形OADM﹣S三角形AOP﹣S三角形DMP =
= =12﹣2t（6分）
∴W=t（12﹣2t）=﹣2（t﹣3）2+18
∴当t=3时，W有最大值，W最大值=18． 探究二：
存在．分三种情况：
①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，则OE=2，DE=4，∠DEA=90°， ∴AE=OA﹣OE=6﹣2=4=DE．
∴∠DAE=∠ADE=45°，
∴∠P1DE=∠P1DA﹣∠ADE=90°﹣45°=45度． ∵DM⊥y轴，OA⊥y轴， ∴DM∥OA，
∴∠MDE=∠DEA=90°，
∴∠MDP1=∠MDE﹣∠P1DE=90°﹣45°=45度． ∴P1M=DM=2，
．
，
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此时， 又因为∠AOC=∠P1DA=90°， ∴Rt△ADP1∽Rt△AOC， ∴OP1=OM﹣P1M=4﹣2=2， ∴P1（0，2）．
∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC， 此时P1点的坐标为（0，2）
②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°， ∴∴∵
，
．
，
∴．
∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．（12分）（结论（1分），过程1分）
③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径， 圆心O1到y轴的距离d=4． ∵d＞r，
∴⊙O1与y轴相离．
不存在点P3，使∠AP3D=90度．
∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．
点评：此题综合性较强，考查函数基本性质，三角形相似的性质，辅佐线的作法，探究性问题，还运用分类讨论思想，难度大．
19、（2009?茂名）已知：如图，直线l：y=x+b，经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…，Bn（n，yn）（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0），设x1=d（0＜d＜1）． （1）求b的值；
（2）求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；
（3）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当d（0＜d＜1）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d的值．
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