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4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质
【教学目标】
1.会用单位圆中的三角函数线画正弦函数的图像,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像； 2.了解周期函数与最小正周期的意义,会求y=Asin(ωx+ψ)的周期,了解奇偶函数的意义,能判断函数的奇偶性；
3.通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质,培养学生的数形结合的能力；
4.简化正弦、余弦函数的绘制过程,会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图；
5.通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想. 【教学建议】 【知识结构】 正弦线 几何法 平移 正弦函数的图象 余弦函数的图象
化简作图 正弦函数的性质 “五点法”作图 余弦函数的性质
单奇定值周 调偶义域期 性性域 性质的应用 【重点与难点分析】 本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质(定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性).正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛,函数的图像和性质是应用的重要基础,也是解决三角函数的综合问题的基础,它能较好的综合三角变换的所有内容,可进一步深入研究其它函数的相关性质.函数图像可以直观的反映函数的性质,因此首先要掌握好函数图像形状特点,使学生将数、形结合对照掌握这两个函数.
本节难点是利用正弦线画出函数y?sinxx?[0,2?]的图像,利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,周期函数与最小正周期意义的理解.利用几何法画函数图像学生第一次接触,要先复习正弦线的做法,另外注意讲清正弦线平移后在x轴上对应的角.通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系,利用诱导公式时先将cosx?cos(?x) 为了只需要平移就可得到余弦函数.周期函数包含的内容较多,可以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解,再通过定义严格说明,定义中x的任意性可与奇偶性的定义对比讲解,周期、最小正周期的概念很抽象,学生理解有些困难,最好将定义分解讲解. 【教法建议】
1.讲三角函数图象时,由于描点法学生比较熟悉,可以先让学生自己作图,然后介绍几何法,这样既可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解,为后面“五点法”作图奠定基础,又可将两种方法加以对比.
2.用几何法作函数y?sinxx?[0,2?]的图像前,首先复习函数线的作法,说明单位圆上的角与x轴上数值的对应关系,作图过程要力求准确,以便学生正确认识曲线的建立过程.此处最好借助多媒体课件演示,表现的既准确又节省时间.得到函数y?sinxx?[0,2?]的图像,利用诱导公式或利用三角函数线,把图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π(即一个最小正周期),即可得到函数y?sinxx?R的图像.余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系,但要将x前面的系数保证为正,这样只需要平移即可得到余弦函数的图像.余弦函数的图像
的几何作法可让学生课后自己去探索.
3.“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛,让学生观察函数y?sinxx?[0,2?]的图像,有五个点在确定图象形状时起着关键的作用,即最高点,最低点以及与x轴的交点,因为只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时,常采用先描出这五个点来作函数简图的方法.适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法. 4.对于函数的周期性,先通过正弦、余弦函数图像的重复出现的特点,让学生对周期有直观的认识,周期函数的定义也可叙述为:当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个)、函数值就重复出现时,这个函数就叫做周期函数.然后再给出严格定义.将定义的分解讲解,
,T”使学生理解定义包含的要素,关键词语,如“如果存在”说明不是所有函数都有周期“要满足“非
零”和“常数”两个条件,当x取定义域内的每一个值时”这一提法,这里要特别注意“每一个值”四个字.如果函数f(x)不是当x取定义域内的“每一个值”时,都有f(x?T)?f(x),那么T就不是f(x)的周期.例如sin(?4??2)?sin?4,但是sin(?6????)?sin,就是说不能对于x在定义262域内的每一个值都有sin(x??2)?sinx,因此
?不是sinx的周期.最小正周期可让学生按上述分2析方法进行分析.另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解,对学生理解和掌握周期函数概念将是有益的:
如果函数f(x)对于定义域里的每一个值,都有 (1)f(?x)?f(x),那么f(x)叫做偶函数；
(2)f(?x)??f(x),那么f(x)叫做奇函数；
(3)f(x?T)?f(x),其中T是不为零的常数,那么f(x)叫做周期函数.
对y?Asin(?x??)函数的周期,要让学生从周期定义上理解:周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个数,这个数是针对x而言的,如果对2x而言,而每增加2π,sin2x的值就重复出现；但对自变量x而言,每增加π, sin2x的值就能重复出现,因此sin2x的周期是π.如果不设辅助未知数,本例的解答可写为:
?sinx?2sxi??n(2?2)?x?si?nf2?(x?, f(x) 即f(x)中的x以x+π代替,函数值不变,所以sin2x的周期为π.由此可知,三角函数的周期
与自变量x的系数有关.
5.让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等,最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出,使学生在函数图像和性质建立对应关系,这对学生进一步掌握函数y?sinx,y?cosx的性质有很大帮助.因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线.
6.要注意数学语言和数学方法的训练,如“必须并且只需”,正弦函数在每一个闭区间
[??2?2k?,?2?2k?](k?Z)上都是增函数,其值从-1增大到1等.
教学设计示例
4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时)
一、教学具准备
直尺、圆规、投影仪. 二、教学目标
1.了解作正、余弦函数图像的四种常见方法.
2.掌握五点作图法,并会用此方法作出[0,2?]上的正弦曲线、余弦曲线. 3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像. 三、教学过程(可用课件辅助教学) 1.设置情境
引进弧度制以后,f(x)?sinx就可以看做是定义域为(??,??)的实变量函数.作为函数,我们首先要关注其图像特征.本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法. 2.探索研究
(1)复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法,请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？(师画图1) α的终边y设任意角?的终边与单位圆相交于点P(x,y),过点作x轴的 P垂线,垂足为M,则有向线段MP叫做角?的正弦线,有向线段OM
x叫做角?的余弦线.
MO(2)在直角坐标系中如何作点(?,sin?)由单位圆中的正弦线 知识,我们只要已知一个角?的大小,就能用几何方法作出对应的
正弦值sin?的大小来,请同学们思考一下,如何用几何方法在直
图 1 ??角坐标系中作出点C(,sin)？
33 教师引导学生用图2的方法画出点C.
我们能否借助上面作点C的方法在直角坐标系中作出正弦函数y?sinx,x?R的图像呢？
PO1MyCsinπ（π3，3）Oπ3x
图2
①用几何方法作y?sinx,x?[0,2?]的图像
我们知道,作函数的图像的步骤是:列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标,就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确,使得描点后画出的图像误差也大,为克服这一不足,我们用前面作点C(,sin)的几何方法来描点,从而使图像的精确度有了提高. 33 (边画图边讲解),我们先作y?sinx在[0,2?]上的图像,具体分为如下五个步骤: a.作直角坐标系,并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆.
b.把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图像越精确).过单位圆上的各分点作x轴的垂线,可
???以得到对应于0, , ,,…,2?角的正弦线.
632??yBO11(B)π2y=sinx,x∈[0,2π]π3π22πAOx
1 c.找横坐标:把x轴上从0到2?(2??6.28)这一段分成12等分.
d.找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应12个点.
e.连线:用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来,即得y?sinx,x?[0,2?)的图像. ②作正弦曲线的y?sinx,x?R图像.
图为终边相同的角的三角函数值相等,所以函数y?sinx,x?[2k?,2(k?1)?)且k?0的图像与函数y?sinx,x?[0,2?)的图像的形状完全一样,只是位置不同,于是我们只要将函数
y?sinx,x?[0,2?)的图像向左、右平移(每次2?个单位长度),就可以得到正弦函数数y?sinx,x?R的图像,如图.