发布时间 : 星期三 文章2013年高三理科数学第一轮复习第十四章(2) 命题和充要条件更新完毕开始阅读1b3a9f18fc4ffe473368ab5d
2013年高三理科数学第一轮复习第十四章（2） 命题和充要条件
考纲要求 1、考查四种命题的意义及相互关系．
2、考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解． 命题规律 考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题． 考点解读 考点1 命题正误的判断
正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要． 考点2 四种命题的真假判断
判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假． 考点3 充要条件的判断
判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题． 考点突破 考点1 命题正误的判断
典例1 设集合A、B，有下列四个命题： ①A?B?对任意x∈A都有x?B； ②A?B?A∩B＝?； ③A?B?B?A；
④A?B?存在x∈A，使得x?B.
其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)． 解题思路 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．
解题过程 ①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A?B但2∈A且2∈B. ②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A?B而A∩B＝{2}． ③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A?B但B?A. ④正确．
易错点拨 注意寻找反例，有时举出反例可能比进行推理论证更困难
变式1 给出如下三个命题：
①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；
ab
②设a，b∈R，且ab≠0，若＜1，则＞1；
ba③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数． 其中不正确命题的序号是( )． A．①②③ C．②③
B．①② D．①③
点拨 对于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：ab
如a、b异号，虽然＜1，但＜0，故②错；对于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，显然为偶函数。
ba答案 B
考点2 四种命题的真假判断
典例1 已知命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )．
A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题 B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题 C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题 D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题 解题思路 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．
解题过程 f′(x)＝ex－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤ex在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 易错点拨 先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假
变式1 已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
点拨 由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2x2是偶函数，但函数f(x)＝x，g(x)＝ex都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，
e即只有原命题和逆否命题正确． 答案 C
考点3 充要条件的判断 典例1 指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)． (1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B； (2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B； (4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0， q：(x－1)(y－2)＝0.
解题思路 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系
解题过程 (1)在△ABC中，∠A＝∠B?sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件． (2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q?綈p，但綈p?/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件． (3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件． (4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2， 所以p?q但q?/ p，故p是q的充分不必要条件．
易错点拨 首先确定谁作条件，谁作结论。然后看条件能否推出结论，确定“充分”还是“不充分”，接着看结论能否推出条件，确定“必要”还是“不必要”。
变式1 设{an}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{an}是递增数列”的( )．
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
点拨 a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{an}递增；反之亦然． 答案 C
综合突破 突破1 充要条件与各种知识结合考查
典例1 设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )．
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件
解题思路 先验证充分性，再验证必要性。
解题过程 x?2且y?2?x2?y2?4，充分性满足；反之，不成立，如x?y?x2?y2?4，但不满足x?2且y?2，选A。
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7，满足4易错点拨 注意反例的一般性。
变式1 设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 点拨 由判别式??16?4n?0，得1?n?4，对n逐个分析。 答案 当n?1,2时，方程没有整数解； 当n?3时，方程有正整数解1,3； 当n?4时，方程有正整数解2； 所以n?3或4
变式2 设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
??a1?a1q点拨 ?，当a1?0时，q?1，数列{an}是递增数列；当a1?0时，0?q?1，数2aq?aq??11列{an}也是递增数列。反之，显然成立。
答案 C
变式3 若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的( )．
A．充分而不必要条件 C．充要条件 答案 A
π
变式4 “x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )．
4
A．充分不必要条件 C．充要条件 点拨 当x?2k??推不出x?2k??答案 A
快乐训练 1、设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( )．
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
2、对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )．
A．充分而不必要条件 C．充要条件
B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分又不必要条件
?),a?|，反之||a|?5推不出a?(4,3)，如：a?(3,4),|a|?5 点拨 ?a?(4,3?反之，tanx?1?x?k??,k?Z(k?Z)时，tanx?tan(2k??)?1；444???4,k?Z
3、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )．
A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数 C．存在一个不能被2整除的整数是偶数