发布时间 : 星期一 文章概率论与数理统计习题答案1-19章更新完毕开始阅读1bf3035584254b35effd3484
概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设Ai表示“第i台机床不需要照管”(i?1,2,3)，则
P(A1)?0.9 P(A2)?0.8 P(A3)?0.7
再设B表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则
B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3
于是有
P(B)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?0.9?0.8?0.7?(1?0.9)?0.8?0.7?0.9?(1?0.8)?0.7?0.9?0.8?(1?0.7)
?0.902．
（另解）设Bi表示“有i台机床需要照管”(i?0,1)，B表示“在一小时内三台车床中最
多有一台需要工人照管”，则B?B0?B1且B0、B1互斥，另外有
P(B0)?0.9?0.8?0.7?0.504
P(B1)?(1?0.9)?0.8?0.7?0.9?(1?0.8)?0.7?0.9?0.8?(1?0.7)?0.398 故P(B)?P(B0?B1)?P(B0)?P(B1)?0.504?0.398?0.902．
二、电路由电池a与两个并联的电池b及c串联而成．设电池a,b,c损坏的概率分别是0.3、
0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设A1表示“a损坏”；A2表示“b损坏”；A3表示“c损坏”；则
P(A1)?0.3 P(A2)?P(A3)?0.2 又设B表示“电路发生间断”，则
B?A1?A2A3
于是有
P(B)?P(A1?A2A3)?P(A1)?P(A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)?P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?0.3?0.2?0.2?0.3?0.2?0.2?0.328．
111三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为、、，求能将此密码
534译出的概率．
解：设A表示“甲能译出”；B表示“乙能译出”；C表示“丙能译出”，则
111P(A)? P(B)? P(C)?
534设D表示“此密码能被译出”，则D?A?B?C，从而有
P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(CA)?P(ABC)
?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(C)P(A)?P(A)P(B)P(C) 111111111111?????????????0.6． 5345354545341112（另解）P(D)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?(1?)(1?)(1?)?，从而有
534523P(D)?1?P(D)?1???0.6
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※※四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为0.4,0.5,0.7．飞机被一
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
人击中而被击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设A1表示“甲命中”；A2表示“乙命中”；A3表示“丙命中”；则
P(A1)?0.4 P(A2)?0.5 P(A3)?0.7 设Bi表示“i人击中飞机” (i?0,1,2,3)，则
P(B0)?P(A1A2A3)?P(A1P)(A2)P(A3)?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.09 P(B1)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3) ?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.4?(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)?0.7?0.36
P(B2)?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3) ?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
?0.4?(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)?0.7?0.41
P(B3)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14 设A表示“飞机被击落”，则由题设有
P(AB0)?0 P(AB1)?0.2 P(AB2)?0.6 P(AB3)?1
故有
P(A)??P(Bi)P(ABi)?0.09?0?0.36?0.2?0.41?0.6?0.14?1?0.458．
i?03
五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在
该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．
解：设Ai表示“第i人贡献正确意见”，则P(Ai)?0.7 (i?1,2,?,9)．
又设m为作出正确意见的人数，A表示“作出正确决策”，则 P(A)?P(m?5)?P9(5)?P9(6)?P9(7)?P9(8)?P9(9)
567 ?C9?(0.7)5?(0.3)4?C9?(0.7)6?(0.3)3?C9?(0.7)7?(0.3)2?
89?C9?(0.7)8?(0.3)1?C9?(0.7)9
?126?(0.7)5?(0.3)4?84?(0.7)6?(0.3)3?36?(0.7)7?(0.3)2?
?9?(0.7)8?(0.3)1?(0.7)9 ?0.2668?0.2668?0.1556?0.040 3 ?0.1715 ?0.901．
六、每次试验中事件A发生的概率为p，为了使事件A在独立试验序列中至少发生一次的
概率不小于p，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n次试验，则
P{A至少发生一次}?1?P{A一次都不发生}?1?(1?p)n
要1?(1?p)n?p，即要(1?p)n?1?p，从而有n?log(1?p)(1?p)?1. 答：至少需要进行一次试验．
5 离散随机变量的概率分布
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概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
·超几何分布·二项分布·泊松分布
一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再
放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X的概率分布为
0 1 2 3 X p 即
1C9 1C1211C3C9?1 1C12C111C32C9?1 2C12C103C3 3C12X p 亦即
0 1 2 3 3 40 9 441 9 2202 1 2203 X p 0.75 0.205 0.041 0.004
二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之
间生产的合格品数的概率分布．
解：设X表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设q?1?p，则ξ的概率分布为
n 0 1 2 ?? ?? X p p pq ?? ?? pq2 pqn
三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．
（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X表示“取出的样本中的次品数”，则X服从超几何分布，即X的概率函数为
6?xC4xC16P(X?x)?6C20(x?0,2,3,4)
从而X的概率分布为
X 0 1 2 3 4 p 即
1001 48452184 484591 32356 9691 323X p 0 1 2 3 4 0.2066 0.4508 0.2817 0.0578 0.0031
（2）设X表示“取出的样本中的次品数”，则X服从超几何分布，即X的概率函数为
P(X?x)?C6x(0.2)x(1?0.2)6?x从而X的概率分布为 X 0 1 2 3 (x?0,2,3,4,5,6)
4 5 6 p 即
4()5 54454443426? 6?6 15?6 20?6 15?6 6555557
1 65概率论与数理统计习题解答 第一章 随机事件及其概率
0 1 2 3 4 5 6 X p 0.2621 0.3932 0.2458 0.0819 0.0154 0.0015 0.0001
四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内
有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算(p?0.01)
44P(ξ?4)?C300p4(1?p)296?C300(0.01)4(1?0.01)296?0.168877
（2）用泊松分布计算(λ?np?300?0.01?3)
34?3P(ξ?4)?e?0.168031355
4!0.168877?0.1680313550 相对误差为δ??500.
0.168877
五、设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行
了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X表示“事件A发生的次数”，则P(A)?p?0.3，n?5，X~B(5,0.3).于是有
P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)
334455 ?C5p(1?p)2?C5p(1?p)?C5p
?0.1323?0.02835?0.00243?0.16308
（另解） P(X?3)?1?P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)
001122 ?1?1C5p(1?p)5?C5p(1?p)4?C5p(1?p)3
?0.16308
六、设随机变量X的概率分布为
P(X?k)?a其中λ>0为常数，试确定常数a．
??kk! , k?0, 1, 2,??；
λk解：因为?P(X?k)?1，即?a?1，亦即aeλ?1，所以a?e?λ.
k!k?0k?0?
6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度
1可否是连续随机变量X的分布函数？为什么？如果X的可能值充满区间： 1?x2 （1）（??, ??）；（2）（??,0）．
一、函数
解：（1）设F(x)?x???1，则0?F(x)?1
1?x2因为limF(x)?0，limF(x)?0，所以F(x)不能是X的分布函数．
x???（2）设F(x)?1，则0?F(x)?1且limF(x)?0，limF(x)?1 2x???x??01?x2x?0 (x?0)，所以F(x)在（??,0）上单增． 因为F'(x)??22(1?x)综上述，故F(x)可作为X的分布函数．
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