发布时间 : 星期三 文章人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳（中档）：三角函数 解三角形更新完毕开始阅读1d098d3628f90242a8956bec0975f46527d3a772
a2
(2)若△ABC的面积S＝4，求角A的大小.
8. (1)证明 由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B， 故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B).又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
a21a21(2)解 由S＝4得2absin C＝4，故有sin Bsin C＝2sin 2B＝sin Bcos B， π因sin B≠0，得sin C＝cos B.又B，C∈(0，π)，所以C＝2±B. ππππ当B＋C＝2时，A＝2；当C－B＝2时，A＝4. ππ综上，A＝2或A＝4. 9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C；
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(2)若c＝7，△ABC的面积为2，求△ABC的周长.
9.解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 1π2cos Csin(A＋B)＝sin C，故2sin Ccos C＝sin C.可得cos C＝2，所以C＝3. 133π(2)由已知,2absin C＝2,又C＝3,所以ab＝6,由已知及余弦定理得,a2＋b2－2abcos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25.所以△ABC的周长为5＋7. 10.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角.
π
(1)证明：B－A＝2；
(2)求sin A＋sin C的取值范围.
sin Aasin A 10.(1)证明 由a＝btan A及正弦定理，得cos A＝b＝sin B， ?π?所以sin B＝cos A，即sin B＝sin?2＋A?. ??πππ?π?又B为钝角，因此＋A∈?2，π?，故B＝＋A，即B－A＝. 222??π?ππ???(2)解 由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－?2A＋2?＝2－2A＞0，所以A∈?0，4?. ?????π?于是sin A＋sin C＝sin A＋sin?2－2A?＝sin A＋cos 2A＝－2sin 2A＋sin A＋1 ??1?29? ＝－2?sin A－4?＋8. ??π2因为0＜A＜4，所以0＜sin A＜2， 1?2992?因此2＜－2?sin A－4?＋8≤8. ???29?由此可知sin A＋sin C的取值范围是?，?. ?28?
11.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍.
sin∠B
(1)求；
sin∠C
2
(2)若AD＝1，DC＝2，求BD和AC的长.
11 11.解 (1)S△ABD＝2AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝2AC·ADsin∠CAD. 因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC. sin∠BAC1由正弦定理可得＝＝. sin∠CAB2(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝2.在△ABD和△ADC中，由余弦定理知
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6， 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.
π112.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知A＝4，b2－a2＝2c2. (1)求tan C的值；
(2)若△ABC的面积为3，求b的值.
111 12.解 (1)由b2－a2＝2c2及正弦定理得sin2B－2＝2sin2C.所以－cos 2B＝sin2C.
π3又由A＝4，即B＋C＝4π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sin Ccos C，解得tan C＝2. 255(2)由tan C＝2，C∈(0，π)得sin C＝5，cos C＝5， 31022?π?又因为sin B＝sin(A＋C)＝sin?4＋C?，所以sin B＝10，由正弦定理得c＝3b， ??π1又因为A＝4，2bcsin A＝3，所以bc＝62，故b＝3.
13.△ABC的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b,c.向量m＝(a，3b)与n＝(cos A，sin B)平行. (1)求A；
(2)若a＝7，b＝2，求△ABC的面积.
13.解 (1)因为m∥n，所以asin B－3bcos A＝0， 由正弦定理，得sin Asin B－3sin Bcos A＝0， π又sin B≠0，从而tan A＝3，由于0＜A＜π，所以A＝3. π(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，而a＝7，b＝2，A＝3， 得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0， 因为c＞0，所以c＝3，
133故△ABC的面积为S＝2bcsin A＝2. 法二 由正弦定理，得7221＝，从而sin B＝πsin B7， sin 327又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝7， π?ππ321?故sin C＝sin(A＋B)＝sin?B＋3?＝sin Bcos 3＋cos Bsin 3＝14. ??133所以△ABC的面积为S＝2absin C＝2. 14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知B→A·B→C＝2，1
cos B＝3，b＝3.