发布时间 : 星期三 文章人教A版2020届高考数学二轮复习解答题题型归纳(中档)：三角函数 解三角形更新完毕开始阅读1d098d3628f90242a8956bec0975f46527d3a772
求：(1)a和c的值； (2)cos(B－C)的值.
1→→ 14.解 (1)由BA·BC＝2得c·acos B＝2，又cos B＝3，所以ac＝6. 由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accos B.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13. ?ac＝6，解?22得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因a>c，所以a＝3，c＝2. a＋c＝13，?
(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝1221－（3）2＝3， c22242由正弦定理，得sin C＝bsin B＝3×3＝9. 因a＝b>c，所以C为锐角，
?42?27?＝. 1－?9?9?因此cos C＝1－sinC＝217224223于是cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝3×9＋3×9＝27.
π
15.如图，在△ABC中，∠B＝3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC1＝7.
(1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长.
143 15.解 (1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝7，所以sin∠ADC＝7. 431所以sin∠BAD＝sin(∠ADC-∠B)＝sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B＝7×2－13337×2＝14. 338×14AB·sin∠BAD(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝＝＝3. sin∠ADB4371在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B＝82+52-2×8×5×2＝49.所以AC＝7.
16.已知向量a＝(2sin x，3cos x)，b＝(－sin x，2sin x)，函数f(x)＝a·b. (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边且f(c)＝1,c＝1,ab＝23，a>b，求a，b的值.
16. 解 (1)由题意得f(x)＝-2sin2x＋23sin xcos x＝3sin 2x＋cos 2x－1＝π??2sin?2x＋6?－1， ??πππππ令2kπ－2≤2x＋6≤2kπ＋2(k∈Z)，得kπ－3≤x≤kπ＋6(k∈Z). ππ??∴f(x)的单调递增区间是?kπ－3，kπ＋6?(k∈Z). ??π?π???(2)由(1)和条件可得f(C)＝2sin?2C＋6?－1＝1，则sin?2C＋6?＝1. ????πππ∵角C是三角形内角，∴2C＋6＝2，即C＝6. b2＋a2－c23∴cos C＝2ab＝2， 12又c＝1，ab＝23，∴a2＋a2＝7，解得a2＝3或a2＝4， ∴a＝3或2，b＝2或3，∵a>b，∴a＝2，b＝3. 17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c，且bcos C＝3acos B－ccos B. (1)求cos B的值；
→·→＝2，且b＝22，求a和c的值.
(2)若BABC
17.解 (1)由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 则2Rsin Bcos C＝6Rsin Acos B－2Rsin Ccos B， 故sin Bcos C＝3sin Acos B－sin Ccos B， 可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B， 即sin(B＋C)＝3sin Acos B，
1可得sin A＝3sin Acos B.又sin A≠0，因此cos B＝3. →·→＝2，可得accos B＝2， (2)由BABC
1又cos B＝3，故ac＝6，由b2＝a2＋c2－2accos B， 可得a2＋c2＝12，所以(a－c)2＝0，即a＝c，所以a＝c＝6. 3
18.如图，角A为钝角，且sin A＝5，点P，Q分别是角A的两边上不同于点A的动点.
(1)若AP＝5，PQ＝35，求AQ的长；
12
(2)设∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cos α＝13，求sin(2α＋β)的值. 34 18.解 (1)∵∠A是钝角，sin A＝5，∴cos A＝－5， 在△AQP中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQcos A，∴AQ2＋8AQ－20＝0，
解得AQ＝2或－10(舍去)，∴AQ＝2.
125(2)由cos α＝13，得sin α＝13.在△APQ中，α＋β＋A＝π， 34又sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sin A＝5，cos(α＋β)＝－cos A＝5， ∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝
5412356sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝13×5＋13×5＝65. 19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，
?b?c??sinB?sinC??a?sinA?sinC?．
（1）求B的值；
（2）若b?3，求a?c的最大值．
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理得，?b?c??b?c??a?a?c?，即
b2?a2?c2?ac，
a2?c2?b21?， 由余弦定理，得cosB?2ac2B??0,??，?B??； 3