发布时间 : 星期三 文章2016新课标三维人教B版数学选修4-5 1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法更新完毕开始阅读1d596058e55c3b3567ec102de2bd960590c6d918
1．1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．1.1 不等式的基本性质
[对应学生用书P1]
[读教材·填要点]
1．实数的大小的几何意义和代数意义之间的联系 设a，b∈R，则 ①a＞b?a－b＞0； ②a＝b?a－b＝0； ③a＜b?a－b＜0. 2．不等式的基本性质
(1)对称性 (2)传递性 (3)加(减) (4)乘(除) (5)乘方 (6)开方 (7)加法法测 (8)乘法法测 a＞b?b＜a a＞b，b＞c?a＞c a＞b?a＋c＞b＋c a＞b，c＞0?ac＞bc； a＞b，c＜0?ac＜bc a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥2) nna＞b＞0?a＞b(n∈N，n≥2) a>b，c>a?a＋c>b＋d a>b>0，c>d>0?ac>bd [小问题·大思维]
a
1．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤
yb
＞这五个不等式中，恒成立的不等式有哪些？ x
提示：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2， 符合题设条件x＞y，a＞b，
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则∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5， ∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，∴ax＝by，因此③也不正确． a3b2
又∵＝＝－1，＝＝－1，
y－3x－2ab
∴＝，因此⑤不正确． yx
由不等式的性质可推出②④恒成立． 即恒成立的不等式有②④. 11
2．若a
ab
提示：不一定．如a＝－1，b＝2.事实上， 11
当ab>0时，若a
ab11
当ab<0时，若a ab 11 当ab＝0时，若a ab [对应学生用书P2] [例1] x∈R，比较x3－1与2x2－2x的大小． [思路点拨] 本题考查利用作差法比较两个代数式的大小．解答本题需要将作差后的代数式分解因式，然后根据各因式的符号判断x3－1与2x2－2x的大小． [精解详析] (x3－1)－(2x2－2x) ＝(x3－x2)－(x2－2x＋1) ＝x2(x－1)－(x－1)2 ＝(x－1)(x2－x＋1) 133 x－?2＋≥＞0， ∵x2－x＋1＝??2?44∴当x＞1时，(x－1)(x2－x＋1)＞0. 即x3－1＞2x2－2x； 当x＝1时，(x－1)(x2－x＋1)＝0， 即x3－1＝2x2－2x. 当x＜1时，(x－1)(x2－x＋1)＜0， 作差法比较大小 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn 即x3－1＜2x2－2x. (1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的程序进行，即：作差→变形→定号→结论，其中变形是关键，定号是目的． (2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断．变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等． (3)在定号中，若为几个因式的积，需每个因式均先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论． 1．当a≠0时，比较(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小． 解：两式作差得 (a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)－(a2＋a＋1)(a2－a＋1) ＝[(a2＋1)2－(2a)2]－[(a2＋1)2－a2]＝－a2. ∵a≠0，∴－a2<0. ∴(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)<(a2＋a＋1)(a2－a＋1). [例2] 下列命题中正确的是( ) (1)若a＞b，c＞b，则a＞c； a (2)若a＞b，则lg＞0； b(3)若a＞b，c＞d，则ac＞bd； 11 (4)若a＞b＞0，则<； abab (5)若＞，则ad＞bc； cd (6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2) C．(3)(6) B．(4)(6) D．(3)(4)(5) 不等式性质的简单应用 [思路点拨] 本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断． [精解详析] (1)错误．因为当取a＝4，b＝2，c＝6时，有a＞b，c＞b成立，但a＞c不成立． 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn aa (2)错误．因为a、b符号不确定，所以无法确定＞1是否成立，从而无法确定lg＞0 bb是否成立． (3)错误．此命题当a、b、c、d均为正数时才正确． 111 (4)正确．因为a＞b，且a、b同号，所以ab＞0，两边同乘以，得＜. abab(5)错误．只有当cd＞0时，结论才成立． (6)正确．因为c＞d，所以－d＞－c，又a＞b， 所以a－d＞b－c. 综上可知(4)(6)正确． [答案] B 运用不等式的性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加，异向不等式可以相减． 11 2．若m，n∈R，则>成立的一个充要条件是( ) mnA．m>0>n B．n>m>0 C．m n－m1111 解析：>?－>0?>0?mn(n－m)>0?mn(m－n)<0. mnmnmn答案：D 4ππ [例3] 已知π<α＋β<，－π<α－β<－，求2α－β的取值范围． 33 [思路点拨] 解答本题时，将α＋β，α－β看作整体，再求出2α－β的取值范围． [精解详析] 设2α－β＝A(α＋β)＋B(α－β)， 则2α－β＝(A＋B)α＋(A－B)β. ??A＋B＝2， 比较两边系数得?? ?A－B＝－1? 利用不等式的性质求取值范围 ? ?3?B＝2. 1A＝，2 13 ∴2α－β＝(α＋β)＋(α－β)． 22π12 ∵<(α＋β)<π， 223 版权所有:中国好课堂www.zghkt.cn