发布时间 : 星期三 文章高考试题及答案-数学（理科）-陕西卷更新完毕开始阅读1d714c5512a6f524ccbff121dd36a32d7375c7b9
2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学（必修+选修Ⅱ）全解全析
注意事项：
1.本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号、并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。Z 3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（共60分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.
1 1.在复平面内，复数z=2?i对应的点位于ZM
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第在象限 2.已知全信U＝{1，2，3， 4，5}，集合A＝
（A）（B） (C) (D) Z 解析：A={2，3，4}，CuA={1，5}，选C 3.抛物线y=x2的准线方程是
（A）4y+1=0 (B)4x+1=0 (C)2y+1=0 (D)2x+1=0
?1,2,3,4??2,3,4??1,5??x?Zx?3?2?,则集合CuA等于
?5?2?i21??i555，选D （D）第四象限 解析：Z=
1P1???4，即4y?1?0，选A 解析：P=2，准线方程为y=2131354.已知sinα=5，则sin4α-cos4α的值为（A）-5 (B)-5 (C)5 (D) 5
3222解析：sin4α-cos4α=sin??cos?=2sin??1=-5，选B
5.各项均为正数的等比数列n的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于 （A）80 （B）30 (C)26 (D)16ZX 解析：选B
6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
?a?33333 （A）4 (B)3 (C) 4 (D) 12 M
解析：正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为
133?(3)2?1?3，体积为344，选C
a2y2?2?12cb7.已知双曲线C：(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是
A.
ab B.a2?b2 C.a D.Bz
|bc?a?0|bcb??by?x22ca的距离，所以R=b?a解析：：圆的半径是（C，0）到渐近线，选D
?1?1(x),则函数f(x-1)与f(x?1)的图象可能是
8.若函数f(x)的反函数为f
?1解析：函数f(x-1)与f的图象是f（x）与f的图象向右平移一个单位得到。选A 9.给出如下三个命题：
①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;
(x?1)?1
(x)ab②设a,b∈R，则ab≠0若b＜1，则a＞1； ③若f(x)=log22x=x,则f（|x|）是偶函数.
其中不正确命题的序号是
A.①②③ B.①② C.②③ D.①③
解析：①ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=-1，b=c=1；②a、b异号时不正确，选B
10.已知平面α∥平面β，直线m?α，直线n?β，点A∈m,点B∈n，记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则
A.b≤a≤c B.a≤c≤b C. c≤a≤b D. c≤b≤a解析：由图知c最小，a最大，选D
11.f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf‘(x)-f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有 A.af(b) ≤bf(a) B.bf(a) ≤af(b)Z C.af(a) ≤f(b) D.bf(b) ≤f(a)
解析：设F（x）=选A
xf'(x)?f(x)f(x)f(x)f(a)f(b)'F(x)??0??af(b)?bf(a)2xx，xab则，故F（x）=为减函数，由a＜b有，
12.设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：Ai?Aj=Ak,其中k为I+j被4除的余数，i、j=0,1,2,3.满足关系式=（x?x）?A2=A0
的x(x∈S)的个数为
A.4 B.3 C.2 D.1
解析：由定义A1? A1= A2，A2? A2= A0，x =A1能满足关系式，同理x=A3满足关系式，选C 第二部分（共90分）
二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.
1??2x?1???lim?2x?1x?1?x?x?2? . 13.
1?2x?1?x?211?2x?1??????limlimlim2x?x?2x?1(x?1)(x?2)3 ??x?1x?1x?1x?2解析：
?x?2y?4?0,??2x?y?2?0,?3x?y?3?0,?14.已知实数x、y满足条件，则z=x+2y的最大值为 . 解析：画出可行域知Z在直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点（2，3）处取得最大值8
15.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝23，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 . 解析：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角
BOC=90°角AOC=30°，
OC=23得平行四边形的边长为2和4，????2+4=6
3A6?120
16.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
解析：分两类，（1）每校1人：；（2）1校1人，1校2人：，不同的分配方案共有120+90=210 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）.
C32A62?90????,2?4?，
17.（本小题满分12分）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点?
（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.ZXXK 解：（Ⅰ）
f(x)?agb?m(1?sin2x)?cos2x，
由已知
π?π?π??f???m?1?sin??cos?22?2?4??，得m?1．
π??f(x)?1?sin2x?cos2x?1?2sin?2x??4?， ?（Ⅱ）由（Ⅰ）得
π??sin?2x????1f(x)的最小值为1?2， 4??当?时，
?3π?π??xx?kπ?，k?Zsin?2x????1??84??x??． 由，得值的集合为
.COM
18.（本小题满分12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能
432正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为5、5、5，且各轮问题能否正确回答互不影响.
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）ZXX 解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为?该选手被淘汰的概率
Ai(i?1，2，3)，则
P(A1)?432P(A2)?P(A3)?5，5，5，
P?P(A1?A1A2?A2A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)
142433101???????555555125．
1?，2，3，5， （Ⅱ）的可能值为1428P(??2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)???5525， 4312P(??3)?P(A1A2)?P(A1)P(A2)???5525．
??的分布列为
P(??1)?P(A1)?181257?E??1??2??3??5252525．
解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为
? P 1 2 3 15 825 1225 Ai(i?1，2，3)，则
P(A1)?432P(A2)?P(A3)?5，5，5．
?该选手被淘汰的概率P?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)
432101?1????555125．
（Ⅱ）同解法一．
K.COM
19.(本小题满分12分)Z如图,在底面为直角梯形的四棱锥
P?ABCD中,AD//BC,?ABC?90?,PA?平面ABCD PA?4,AD?2,AB?23,BC=6.
(Ⅰ)求证:BD
BD?平面PAC;
P F A D C
(Ⅱ)求二面角P?BD?D的大小.ZXX 解法一：（Ⅰ）QPA⊥平面
ABCD，BD?平面ABCD．?BD⊥PA．
tanABD?又
AD3BC?tanBAC??3AB3，AB．
E ?∠ABD?30o，∠BAC?60o，?∠AEB?90o，即BD⊥AC．
B
又PAIAC?A．?BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．
QDE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF， ?∠EFD为二面角A?PC?D的平面角．
?90o?∠BAC?30o，
?DE?ADsinDAC?1，
又∠DACAE?ABsinABE?3，
又
AC?43，?EC?33，PC?8．
由Rt△EFC∽Rt△PAC得在Rt△EFD中，
EF?PAgEC33?PC2，
．
tanEFD?DE23?EF9arctan239?∠EFD?arctan239．
?二面角A?PC?D的大小为
则
．
解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，
0，0)，C(23，6，0)，D(0，A(0，0，0)，B(23，2，0)，P(0，0，4)，
uuuruuuruuur?AP?(0，0，4)，AC?(23，6，0)，BD?(?23，2，0)，
uuuruuuruuuruuur?BDgAP?0，BDgAC?0．?BD⊥AP，BD⊥AC， 又PAIAC?A，?BD⊥平面PAC．
n?(x，y，1)，
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为uuuruuurn?0，PDgn?0， 则CDguuuruuurCD?(?23，?4，0)，PD?(0，2，?4)， 又
z P ???23x?4y?0，????2y?4?0，解得
?43，?x???3?y?2，?
A B x E D y C
?43??n???，2，1???3??
平面PAC的法向量取为
uuurm?BD??23，2，0??，
cos n??mgn393?mn31． ?二面角A?PC?D的大小为 K.COM arccos39331． c2,220.(本小题满分12分)Z设函数f(x)=x?ax?a其中a为实数. (Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围; (Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.ZX f(x)的定义域为R，?x2?ax?a?0恒成立，???a2?4a?0， ?0?a?4，即当0?a?4时f(x)的定义域为R． 解：（Ⅰ）（Ⅱ）由 x(x?a?2)exf?(x)?2(x?ax?a)2，令 f?(x)≤0，得x(x?a?2)≤0． f?(x)?0，得x?0或x?2?a，又Q0?a?4， ?0?a?2时，由f?(x)?0得0?x?2?a； ?2时，f?(x)≥0；当2?a?4时，由f?(x)?0得2?a?x?0， f(x)的单调减区间为(0，2?a)； 即当0?a?2时， 当a当2?a?4时，XK.COM f(x)的单调减区间为(2?a，0)． x2y26,??1223ab21. (本小题满分14分)Z已知椭圆C:（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为3. (Ⅰ)求椭圆C的方程;ZX(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为 32，求△AOB面积的最大值.ZXX ?c6，??3?ax2?y2?1?a?3，?b?1，?所求椭圆方程为3解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意?． AB⊥x轴时，AB?3． y?kx?m． （2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为 （Ⅱ）设 A(x1，y1)， B(x2，y2)．（1）当 3322m?(k?1)221?k4由已知，得． 222(3k?1)x?6kmx?3m?3?0， y?kx?m把代入椭圆方程，整理得 ?m2212(m2?1)?2?36km3(m2?1)?6km?(1?k)?2?222x1x2??x1?x2?2223k2?1??(3k?1)? 3k?1．?AB?(1?k)(x2?x1)3k?1， 12k21212?3??3?(k?0)≤3??4222224212(k?1)(3k?1?m)3(k?1)(9k?1)19k?6k?12?3?6??9k2?2?62222(3k?1)(3k?1)k． 9k2?当且仅当 1k2k??，即 33时等号成立．当k?0时，AB?3，综上所述ABmax?2． ． ?当 133S??AB??maxAB222最大时，△AOB面积取最大值 1akak?1(k?222. (本小题满分12分)Z已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk,且Sk＝N*),其中a1=1. (Ⅰ)求数列{ak}的通项公式; (Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足 bk?1k?n?bkab?1（k=1,2,…，n-1）,b1=1.求b1+b2+…+bn. 1a1a2a?1a?2k?12Z解：（Ⅰ）当，由及1，得2． 11ak?Sk?Sk?1?akak?1?ak?1aka(a?ak?1)?2ak22当k≥2时，由，得kk?1． ak?0ak?1?ak?1?2a2m?1?1?(m?1)g2?2m?1a1?S1?因为 ，所以 ．从而 ． *ak?k(k?N*)m?N，．故． bk?1n?kn?k????a?kbak?1k?1． （Ⅱ）因为k，所以ka2m?2?(m?1)g2?2mbk?所以 bkbk?1b(n?k?1)(n?k?2)L(n?1)ggLg2gb1?(?1)k?1gg1?(?1)k?1g1Ck(k?1，2，L，n)nbk?1bk?2b1kg(k?1)gLg2g1n． 1123n?1n??C?C?C?L?(?1)Cn?nnn?b1?b2?b3?L?bnn?故 11012nn??1??C?C?C?L?(?1)gC?nnn??nnn． ??