发布时间 : 星期三 文章2018_2019学年高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程讲义含解析新人教A版更新完毕开始阅读1d8ae7a1a7c30c22590102020740be1e640ecc66
C.2π
3D.π 2
解析:选A ∵在点(-a,0)中,x=-a,∴-a=acos θ,∴cos θ=-1,∴θ=π.
??x=2cos θ,2.参数方程?
?y=sin θ?
(θ为参数)和极坐标方程ρ=-6cos θ所表示的图形
分别是( )
A.圆和直线 C.椭圆和直线
B.直线和直线 D.椭圆和圆
??x=2cos θ,
解析:选D 对于参数方程?
??y=sin θ
(θ为参数),
利用同角三角函数关系消去θ化为普通方程为+y=1,表示椭圆.
4ρ=-6cos θ两边同乘ρ, 得ρ=-6ρcos θ, 化为普通方程为x+y=-6x, 即(x+3)+y=9.
表示以(-3,0)为圆心,3为半径的圆.
??x=4cos θ,
3.椭圆?
?y=3sin θ?
2
2
2
2
2
x2
2
(θ为参数)的左焦点的坐标是( )
B.(0,7) D.(-4,0)
A.(-7,0) C.(-5,0)
??x=4cos θ,
解析:选A 根据题意,椭圆的参数方程?
?y=3sin θ?
(θ为参数)化成普通方程为
+=1,
169
其中a=4,b=3,则c=16-9=7, 所以椭圆的左焦点坐标为(-7,0).
??x=cosθ-1,
4.两条曲线的参数方程分别是?2
?y=1+sinθ?
2
x2y2
(θ
??x=3cos t,
为参数)和?
?y=2sin t?
(t为参数),则其交点个数为( )
A.0 C.0或1
??x=cosθ-1,
解析:选B 由?2
??y=1+sinθ,
2
B.1 D.2
得x+y-1=0(-1≤x≤0, 1≤y≤2),
??x=3cos t,由???y=2sin t
得+=1.如图所示,可知两曲线交点有1个.
94
x2y2
二、填空题
??x=5cos θ,
5.椭圆?
?y=4sin θ?
(θ为参数)的离心率为________.
解析:由椭圆方程为+=1,可知a=5,b=4,
2516
x2y2
c322
∴c=a-b=3,∴e==. a5
3答案: 5
??x=3cos θ,
6.已知P为曲线C:?
?y=4sin θ?
(θ为参数,0≤θ≤π)上一点,O为坐标原点,
π
若直线OP的倾斜角为,则点P的坐标为________.
4
解析:曲线C的普通方程为=x,
y2
16
+=1(0≤y≤4),易知直线OP的斜率为1,其方程为y9
x2
y=x,??22
联立?yx+=1,??169
16×92
消去y,得x=,
25
1212?12?故x=?x=-舍去?,故y=, 55?5?
?1212?所以点P的坐标为?,?. ?55?
答案:?
?12,12?
??55?
??x=2cos φ,
7.已知椭圆的参数方程为?
?y=4sin φ?
(φ为参数),点M在椭圆上,对应的参数
π
φ=,点O为原点,则直线OM的斜率为________.
3
π
x=2cos =1,??3π
解析:当φ=时,?3π
y=4sin =23,??3
故点M的坐标为(1,23).所以直线
OM的斜率为23.
答案:23 三、解答题
?x=5cos θ,
8.已知两曲线的参数方程分别为?
?y=sin θ
∈R),求它们的交点坐标.
5??x=t2,
(0≤θ<π)和?4
??y=t
(t?x=5cos θ
解:将?
?y=sin θ
x2
5
2
(0≤θ<π)化为普通方程得:
+y=1(0≤y≤1,x≠-5),
5254242
将x=t,y=t代入得,t+t-1=0,解得t=,
4165255254∴t=,x=t=×=1,
5445
?25?∴两曲线的交点坐标为?1,?.
5??
??x=3cos θ,
9.已知椭圆的参数方程为?
?y=2sin θ???x=2-3t,
?
?y=2+2t?
(θ为参数),求椭圆上一点P到直线
(t为参数)的最短距离.
??x=2-3t,
解:设点P(3cos θ,2sin θ),直线?
?y=2+2t?
13
可化为2x+3y-10=0,点P到
直线的距离d=
?62sin ?θ+π?-10????4?|6cos θ+6sin θ-10|????
13
=
π??.因为sin?θ+?∈
4??
[-1,1],所以d∈?
?10-6210+62?10-62
,. ?,所以点P到直线的最短距离dmin=131313??
x2y2
10.椭圆2+2=1(a>b>0)与x轴正半轴交于点A,若这个椭圆上总存在点P,使OPab⊥AP(O为原点),求离心率e的取值范围.
??x=acos θ,
解:设椭圆的参数方程是?
?y=bsin θ?
(θ为参数)(a>b>0),则椭圆上的点
P(acos θ,bsin θ),A(a,0).
∵OP⊥AP,∴
2
2
bsin θbsin θ
·=-1,
acos θacos θ-a2
2
2
即(a-b)cosθ-acos θ+b=0. 解得cos θ=b2
a2-b2
或cos θ=1(舍去).
∵a>b,-1≤cos θ≤1,∴0<
2
2
2
b2
a2-b2≤1.
a2-c2
把b=a-c代入得0<2≤1.
c12
即0<2-1≤1,解得≤e<1.
e2故椭圆的离心率e的取值范围为?
?2?
,1?. ?2?