发布时间 : 星期三 文章数学理提高版一轮复习自主学习:第18课利用导数研究函数的最(极)值更新完毕开始阅读1db97f27f9c75fbfc77da26925c52cc58ad6903f
第18课 利用导数研究函数的最(极)值
【自主学习】
第18课 利用导数研究函数的最(极)值
(本课时对应学生用书第45~47页)
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111. (选修2-2P31例2改编)函数f(x)=3x3-4x+3的极大值是 ,极小值
是 .
17【答案】3 -5
【解析】f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值 f(-2)
(-2,2) - ↘ 2 0 极小值 f(2) (2,+∞) + ↗ 17因此,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=3;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5.
2. (选修1-1P76练习2改编)已知函数f(x)=x3-x2-x+a,且f(x)的极小值为1,则f(x)的极大值为 .
59【答案】27
11【解析】f'(x)=3x2-2x-1,令f'(x)=0,则x=-3或x=1.当x<-3或x>1时,f'(x)>0;当11-3 13. (选修2-2P33例2改编)函数f(x)=2x+sin x在区间[0,2π]上的最大值为 . 【答案】π 12π4π【解析】f'(x)=2+cos x,x∈[0,2π].令f'(x)=0,解得x1=3,x2=3.当x变化时, f(x),f'(x)的变化情况如下表: x f'(x) f(x) 0 Ziyuanku.com?2??0,?3??? 2?3 4??2?4??,???33? 3 ?4??,2????3? 2π + ↗ 0 极大值 - ↘ 0 极小值 + ↗ 0 π 1由上表可知,函数f(x)=2x+sin x在区间[0,2π]上的最大值为π. 4. (选修2-2P34习题8改编)函数y=x+sin x,x∈[0,2π]的值域为 . 【答案】[0,2π] 【解析】因为y'=1+cos x≥0,所以函数y=x+sin x在[0,2π]上是单调增函数,所以值域为[0,2π]. 5. (选修2-2P34习题7改编)若函数y=3x3-9x+a有两个零点,则实数a= . 【答案】±6 【解析】由y'=9x2-9>0,得x>1或x<-1,所以当x=1时,y极小值=a-6;当x=-1时,y极 大值 =a+6,所以a-6=0或a+6=0,所以a=±6. 1. 函数的极值 若在函数y=f(x)的定义域I内存在x0,使得在x0附近的所有点x,都有f(x) 2. 求函数极值的步骤 (1)求导数f'(x). (2)求方程f'(x)=0的所有实数根. (3)观察在每个根xn附近,从左到右,导函数f'(x)的符号如何变化,若f'(x)的符号由正变负,则f(xn)是极大值;若由负变正,则f(xn)是极小值;若f'(x)的符号在xn的两侧附近相同,则xn不是函数f(x)的极值点. 3. 函数的最值 若在函数f(x)的定义域I内存在x0,使得对于任意的x∈I,都有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数的最大值,记作ymax=f(x0);若在函数f(x)的定义域I内存在x0,使得对于任意的x∈I,都有f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数的最小值,记作ymin=f(x0). 4. 求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最值的步骤: (1)求f(x)在区间[a,b]上的极值; (2)将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值. 【要点导学】 要点导学 各个击破 利用导数研究函数的极值 例1 判断下列函数是否有极值,如果有极值,请求出其极值;如果没有极值,请说明理由. (1)y=8x3-12x2+6x+1; (2)y=1-(x-2). 【思维引导】本题主要应用函数极值的概念和求函数极值的方法求极值.解决本题的关键是先求出导数为零的点,再判断函数在该点的左右邻域的单调性是否相反. 11【解答】(1)因为y'=24x2-24x+6,令y'=0,即24x2-24x+6=0,解得x=2,当x>21时,y'>0;当x<2时,y'>0,所以此函数无极值. 21-3(2)当x≠2时,有y'=-3(x-2).当x=2时,y'不存在,因此y'在x=2处不可导.但 23在x=2处的左右邻域y'均存在,且函数y=f(x)在x=2处连续,故可依据y'在x=2的左右邻域的符号来判断函数在x=2处是否有极值.当x<2时,y'>0;当x>2时,y'<0.故y=f(x)在点x=2处取极大值,且极大值为f(2)=1;无极小值. 【精要点评】判断一个函数是否有极值,不能只求解y'=0,根据函数极值的定义,函数在某点处存在极值,则在该点的左右邻域应是单调的,并且单调性应相反.运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤:(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f'(x);(2)求方程f'(x)=0的根;(3)检查f'(x)在方程根左右的值的符号,