发布时间 : 星期四 文章2.2 拓扑空间和连续映射更新完毕开始阅读1ddd522eb4daa58da0114afa
2.2 拓扑空间
2.2.1 拓扑空间的基本概念
定义2.2.1 设X是一非空集，?是X的某些子集组成的一个集类，若?满足：
(1)
???,X??；
(2) 若Ai??,(3) 若A???,i?1,2,?,n, 则?Ai??；
i?1n??I，则?A可数集或不可数集； ???, 其中指标集I可以是有限集、
??I则称?为X上的一个拓扑（结构）。并称(X,?)为拓扑空间，有时简写(X,?)为X.
?中的元素称为X的τ-开集，简称开集。空间X中的元素称为点。
若开集A（即：A??）含有点x，则称A为x的邻域，任何开集E（即：E??）的余集Ec?X?E称为闭集。
若拓扑空间(X,?)又满足如下条件 (4) 若对?x,y?X，当x?y时，必存在x,y的邻域U,V，使U?V??，则称
(X,?)是Hausdorff空间.
注 在度量空间中，我们总是把按定义2.2.1的方法定义的开集全体作为拓扑,因此，度量空间自然地成为一个拓扑空间，而且是Hausdorff空间。
例2.2.1 设?是R中所有开的实数集构成的集族，则?是R上的一个拓扑，并称之为R111上的通常拓扑或标准拓扑(usual topology).
类似地， R平面上所有开集构成的集族?是R上的一个拓扑，也称之为R上的通
222常拓扑或标准拓扑(usual topology).
例2.2.2 设X?{a,b,c,d,e}，考察X的子集族
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?1?{X,?,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}},?2?{X,?,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d}}, ?3?{X,?,{a},{c,d},{a,c,d},{a,b,d,e}}则?1是X上的一个拓扑，但?2和?3都不是X上的拓扑。
In fact 虽然{a,c,d}??2,{b,c,d}??2，但是{a,c,d}?{b,c,d}?{a,b,c,d}??2;
虽然{a,c,d}??3,{a,b,d,e}??3，但是{a,c,d}?{a,b,d,e}?{a,d}??3.
例2.2.3 设X是非空集合，??{X,?}，则?是X的拓扑，并称?是X的平庸拓扑（或
平凡拓扑或不可分拓扑），称(X,?)为平庸（拓扑）空间（或平凡（拓扑）空间或不可分拓扑空间）。
在平庸空间中，有且仅有2个开集：X和?.
当X中不止有一点时，X按照平凡拓扑不是Hausdorff空间.
?例2.2.4 设X是非空集合，
为离散（拓扑）空间。
?2X，则?是X的拓扑，并称?是X的离散拓扑，称(X,?)在离散空间中，X的每个子集都是开集。
例2.2.5 设?为集X的子集族，?由X的每个有限集的余集及空集?组成。则?是X上的一个拓扑，称为X上的有限余拓扑（cofinite topology）。
定义2.2.2 设(X,?)为度量空间，??是X中所有开集构成的集簇，则??是X的拓扑，并称??为X的由度量ρ诱导出来的拓扑, 或：度量拓扑.
注1 约定：在称度量空间(X,?)为拓扑空间时，指的就是拓扑空间(X,??). 注2 由定义2.2.2知：度量空间一定是拓扑空间。 注3 X的不同的度量可以诱导出相同的拓扑。
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例2.2.6 度量空间(R2,?),(R2,?1),(R2,?2)中的度量?,?1,?2:R2?R2?R1 的定义分别为：对?x?(x1,x2)?R2,y?(y1,y2)?R2,
?(x,y)?(x1?y1)2?(x2?y2)2; ?1(x,y)?max{x1?y1,x2?y2};
?2(x,y)?x1?y1?x2?y2.
按?定义的度量，球形邻域U(x,?)?{yy?X,义的度量，球形邻域U1(x,?)?{yy?X,?(x,y)??}是平面上的开圆盘；按?1定
?1(x,y)??}是平面上的开正方形；按?2定义?2(x,y)??}是平面上的开菱形, 且
的度量，球形邻域U2(x,?)?{yy?X,U2(x,?)?U(x,?)?U1(x,?).
度量空间(R2,?),(R2,?1),(R2,?2)有着完全相同的开集（即：一个集合对于某一度量而言是开集，则对于另一度量而言也是开集）。
定义2.2.3 非空集合X的度量?1和?2称为等价的度量，若?1和?2分别诱导出来的X的拓扑??和??相同，即?????.
2211显然，例2.2.6中的3个度量?,
定义2.2.4 设(X,?)是拓扑空间，若存在X的度量?，使得?就是由度量?诱导出来的X的拓扑，则称拓扑空间(X,?)为可度量化的（拓扑）空间.
问题：拓扑空间是否比度量空间的范围更广一些？由定义2.2.4，上述问题等价于：是否每一个拓扑空间都是可度量化的空间？
例2.2.7 设(X,?)为度量空间，X是有限集。若X的拓扑?是由度量?诱导出来的，则由例2.1.3知：X的每一个子集都是开集，即(X,?)是离散（拓扑）空间。
?1,?2是等价的度量.
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反例1 例2.2.2中的拓扑空间(X,?1)：
X?{a,b,c,d,e}，?1?{X,?,{a},{c,d},{a,c,d},{b,c,d,e}}
In fact 虽然X只含有限个点，但由例2.2.7的结论知：(X,?1)不是离散空间（这是因为至少X的子集{a,b}??1）。故例2.2.2中的拓扑空间(X,?1)不是可度量化的。
反例2 例2.2.3中的平庸拓扑空间(X,?), ??{X,?}.
In fact 设X是有限集（其元素个数大于1），虽然X只含有限个点，但(X,?)不是离散空间（这是因为X的真子集??）。 故由例2.2.7的结论知：例2.2.3中的平庸拓扑空间(X,?)不是可度量化的。
注 上述2个例子说明：并非每一个拓扑空间都是可度量化的，即拓扑空间确实比度量空间的范围更广。
定义2.2.5 设?1和?2是非空集X上的两个拓扑，若?1??2，即：每个?1-开集都是?2-开集，则称?2强于(stronger than) ?1，或?1弱于(weaker than)?2.
若?1和?2中的任何一个都不强于或弱于另一个，则称?1和?2是不可比较的(not comparable)。
例如：X?{a,b,c}，?1?{X,?,{a}},?2?{X,?,{b}}是X上两个拓扑，
但?1和?2是不可比较的。
例2.2.8 设?是R上的通常拓扑，?1是R上的有限余拓扑，则?1??.
22In fact 设A是R的任意有限子集，则Ac??1. 而R上的每个有限子集A是一个?-闭
22集，因此A是一个?-开集，即：Ac
c??，于是?1??.
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