发布时间 : 星期四 文章2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第五章 1 第1讲 平面向量的概念及线性运算更新完毕开始阅读1e256a10bf64783e0912a21614791711cc797991
→→→1→→→→→→1
解：设OA＝a，OB＝b，则OG＝(a＋b)，PQ＝OQ－OP＝nb－ma，PG＝OG－OP＝(a
3311
－m?a＋b. ＋b)－ma＝??3?3
→→
由P，G，Q共线得，存在实数λ使得PQ＝λPG， 11
－m?a＋λb， 即nb－ma＝λ??3?3
?
从而?1
n＝?3λ，
1?－m＝λ??3－m?，
11
消去λ，得＋＝3.
nm
[综合题组练]
→→
1．设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积的比值是( )
1A. 32C. 3
1B. 23D. 4
→|CP|2→→
解析：选B.因为CP＝2PA，所以＝，又△PAB在边PA上的高与△PBC在边PC上
→1|PA|→
S△PAB|PA|1
的高相等，所以＝＝.
S△PBC→2
|CP|
2．(2020·福建省普通高中质量检查)已知D，E是△ABC边BC的三等分点，点P在线→→→
段DE上，若AP＝xAB＋yAC，则xy的取值范围是( )
14?A.??9，9? 21?C.??9，2?
11?B.??9，4? 21?D.??9，4?
21→→
－≤λ≤－?，解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数λ使PB＝λBC?3??3
??y＝－λ1→→→→→→→
所以AB－AP＝λ(AC－AB)，所以AP＝－λAC＋(λ＋1)AB，则?，所以x＋y＝1且≤x
3?x＝λ＋1?
1?2121112?≤，于是xy＝x(1－x)＝－?x－2?＋，所以当x＝时，xy取得最大值；当x＝或x＝时，34243321?2
xy取得最小值，所以xy的取值范围为??9，4?，故选D. 9
3．(2020·浙江名校协作体高三联考)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的
→→→→
直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n＝________．
|BG||BM|
解析：作BG∥AC，则BG∥NC，＝.
|AN||AM|因为O是BC的中点，所以△NOC≌△GOB， 所以|BG|＝|NC|，又因为|AC|＝n|AN|， 所以|NC|＝(n－1)|AN|，所以
|BG|
＝n－1. |AN|
因为|AB|＝m|AM|，所以|BM|＝(1－m)|AM|， |BM|所以＝1－m，所以n－1＝1－m，m＋n＝2.
|AM|答案：2
4.(2020·温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，11→→M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足2＋2＝1，若AC＝xAM＋
CMCN→
yAN，则x＋y的最小值为________．
解析：连接MN交AC于点G，由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，所11MN2
以1＝＋＝，
CM2CN2CM2·CN2
即MN＝CM·CN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半y→?→→→→?xAM＋AN径的圆的一条切线．因为AC＝xAM＋yAN＝(x＋y)·x＋y?， ?x＋y
→→所以由共线定理知，AC＝(x＋y)AG， →|AC|5
所以x＋y＝＝，
→→|AG||AG|→
又因为|AG|max＝5－1＝4， 5
所以x＋y的最小值为.
45答案：
4
→
5．如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若AB＝a，→→→BC＝b，AB＝2DC.
→
(1)用a，b表示AM； (2)证明A，M，C三点共线．
11→→→→
－a?＝a＋b， 解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝a＋b＋??2?2又E为AD中点， →1→11
所以AE＝AD＝a＋b，
242
→→
因为EF是梯形的中位线，且AB＝2DC， 113→1→→
a＋a?＝a， 所以EF＝(AB＋DC)＝?22?2?4
→1→1
又M，N是EF的三等分点，所以EM＝EF＝a，
341→→→1111
所以AM＝AE＋EM＝a＋b＋a＝a＋b.
42422→2→1
(2)证明：由(1)知MF＝EF＝a，
32→→→11→
所以MC＝MF＋FC＝a＋b＝AM，
22
→→
又MC与AM有公共点M，所以A，M，C三点共线．
→→→
6．已知O，A，B是不共线的三点，且OP＝mOA＋nOB(m，n∈R)．求证：A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
→→→→→→
证明：充分性：若m＋n＝1，则OP＝mOA＋(1－m)OB＝OB＋m(OA－OB)， →→→→所以OP－OB＝m(OA－OB)， →→即BP＝mBA， →→
所以BP与BA共线．
→→
又因为BP与BA有公共点B，则A，P，B三点共线． 必要性：若A，P，B三点共线， →→
则存在实数λ，使BP＝λBA，
→→→→所以OP－OB＝λ(OA－OB)． →→→又OP＝mOA＋nOB.
→→→→
故有mOA＋(n－1)OB＝λOA－λOB， →→
即(m－λ)OA＋(n＋λ－1)OB＝0.
→→
因为O，A，B不共线，所以OA，OB不共线，
??m－λ＝0，所以?所以m＋n＝1.
?n＋λ－1＝0.?
所以A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.