发布时间 : 星期一 文章函数的单调性与奇偶性测试更新完毕开始阅读1ed010bbe109581b6bd97f19227916888486b9b8
【点评】本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题．
6．（2017?莆田一模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=2x，则f（﹣2）=（ ） A． B．﹣4 C．﹣ D．4
【分析】依题意首先把x＜0时，函数的解析式求出．再把x=﹣2代入函数式得出答案．
【解答】解：设x＜0，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f[﹣（﹣x）]=﹣2﹣（﹣x） ∴当x＜0时，函数的解析式为f（x）=﹣2﹣x ∴f（﹣2）=﹣2﹣（﹣2）=﹣4 故选B．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性问题．此类问题通常先求出函数的解析式．
7．（2017?中卫一模）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（ ） A．1
B．0
C．﹣2 D．2
【分析】本题通过赋值法对f（2﹣x）=f（x）中的x进行赋值为2+x，可得﹣f（x）=f（2+x），可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解．
【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（2+x）]=f（2+x），即f（﹣x）=f（2+x），即﹣f（x）=f（2+x），
∴f（x+4）=f（4+x），故函数f（x）的周期为4．
∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2， ∴f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f（4）=f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=504?[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017） =504×（﹣2+0+2+0）+f（1）=0+（﹣2）=﹣2，
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故选：C．
【点评】本题通过赋值法结合奇函数的性质，利用周期性和图象平移的知识即可求解，属于基础题．
8．（2017?日照二模）函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（ ）
A．{x|x＞2或x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＜0或x＞4} ＜4}
【分析】根据二次函数f（x）的对称轴为y轴求得b=2a，再根据函数在（0，+∞）单调递增，可得a＞0．再根据函数在（0，+∞）单调递增，可得a＞0，f（x）=ax2﹣4a．再利用二次函数的性质求得f（2﹣x）＞0的解集．
【解答】解：∵函数f（x）=（x﹣2）（ax+b）=ax2+（b﹣2a）x﹣2b为偶函数， ∴二次函数f（x）的对称轴为y轴， ∴﹣
=0，且a≠0，
D．{x|0＜x
即 b=2a，∴f（x）=ax2﹣4a．
再根据函数在（0，+∞）单调递增，可得a＞0． 令f（x）=0，求得 x=2，或x=﹣2，
故由f（2﹣x）＞0，可得 2﹣x＞2，或2﹣x＜﹣2，解得 x＜0，或x＞4， 故f（2﹣x）＞0的解集为 {x|x＜0或x＞4}， 故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，二次函数的性质，属于中档题．
9．（2017?淮北二模）设函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），则函数f（x）是（ ） A．偶函数，且在（0，1）上是减函数 B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数 D．奇函数，且在（0，1）上是增函数 【分析】根据题意，首先分析函数的奇偶性，先求出函数的定义域，进而计算可得f（﹣x）=﹣f（x），可得函数f（x）为奇函数；再分析函数的单调性，先由对数的运算性质可得f（x）=lg
，令t=，则y=lgt，由复合函数的单调性判
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断方法分析可得函数f（x）在（0，1）上为增函数，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）， 有
，解可得﹣1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（﹣1，1），关于原点对称，
f（﹣x）=lg[1+（﹣x）]﹣lg[1﹣（﹣x）]=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）， 故函数f（x）为奇函数，
而f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）=lg令t=
，则y=lgt，
=﹣
﹣1，为增函数；
，
当x∈（0，1）时，t=而y=lgt为增函数，
故函数f（x）在（0，1）上为增函数； 故选：D．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，分析奇偶性时需要先分析函数的定义域．
10．（2017春?岳麓区校级期中）若定义在R上的函数奇函数，则实数a的值为（ ） A．﹣1 B．0
C．1
D．2
为
【分析】利用奇函数的性质，定义在R上的奇函数f（0）=0得到关于a 的方程解之．
【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数， 所以f（0）=0，即故选C．
【点评】本题考查了定义在r上的奇函数的性质f（0）=0的运用；属于基础题．
=0，所以a=1；
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