发布时间 : 星期五 文章河南郑州第一中学2020届高三12月份联考试题理科数学(含答案)更新完毕开始阅读1f611ebce209581b6bd97f19227916888486b92c
【点睛】本题考查了利用频率分布表计算平均数，方差，考查了正态分布，考查了离散型随机变量的概率分布列和数学期望，主要考查数据分析能力和计算能力，属于中档题． 21.已知函数f?x??e?x12x)是f?x?的导函数. ax（x?0,e为自然对数的底数），f￠(2（Ⅰ）当a?2时，求证f?x??1；
2（Ⅱ）是否存在正整数a，使得f??x??xlnx对一切x?0恒成立？若存在，求出a的最大
值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）详见解析；（2）存在且为2. 【解析】
（Ⅰ）要证明函数不等式f(x)?1（x?0），注意到f(0)?1，因此我们可先研究函数的性质特别是单调性，这可通过导数的性质确定；
（Ⅱ）首先把不等式具体化，即不等式f'(x)?xlnx为ex?ax?x2lnx，注意到特殊情形，
2x?1时，不等式为a?e，因此a的值只有为1或2，因此只要证a?2时，不等式
ex?ax?x2lnx恒成立即可，这仍然通过导数研究函数的单调性证得结论，为了确定导数的
ex2ex2正负的方便性，把不等式变为2??lnx?0，因此只要研究函数g(x)?2??lnx的
xxxx单调性，求得最小值即可.
x2x试题解析：（Ⅰ）当a?2时，f?x??e?x，则f??x??e?2x ，
令f1?x??f??x??e?2x，则f1??x??e?2 ，
xx令f1??x??0，得x?ln2，故f??x?在x?ln2时取得最小值，
Qf??ln2??2?2ln2?0,?f?x?在?0,???上为增函数， ?f?x??f?0??1 ，
（Ⅱ）f??x??e?ax ，
x2由f??x??xlnx，得ex?ax?x2lnx对一切x?0恒成立，
当x?1时，可得a?e，所以若存在，则正整数a的值只能取1,2. 下面证明当a?2时，不等式恒成立，
xx?2?ex?xex2?x?2e??21设g?x??2??lnx ，则g??x?? ， ?2??33xxxxxx??由（Ⅰ）ex?x2?1?2x?x ，?e?x?0(x?0) ，
x?当0?x?2时，g??x??0 ；当x?2时，g??x??0 ，
即g?x?在?0,2?上
减函数，在?2,???上是增函数，
?g?x??g?2??1211e?4?4ln2?2.72?4?4ln2??3?ln16??0 , 444??当a?2时，不等式恒成立
所以a的最大值是2.
【点睛】导数与函数的单调性、导数与函数的极值（最值）、利用导数求参数的范围问题，利用导数解决综合问题都可能是高考命题的切入点，设计在客观题和解答题的压轴题位置，掌握它们的基础知识和基本方法是解题的基础，掌握转化与化归思想是解题的桥梁，许多问题如不等式恒成立，函数的零点，方程的根的分布等都可以通过构造函数，转化为用导数知识来解决．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
1?.以坐标原点O为极22.在平面直角坐标系xoy中，已知倾斜角为?的直线l经过点A??2，点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（1）写出曲线C的普通方程;
（2）若直线l与曲线C有两个不同的交点M，N，求AM?AN的取值范围. 【答案】(1) x?y?2y?3?0. (2) 4,42??. 【解析】
分析：(1)利用极坐标与直角坐标互化的公式可得曲线C的普通方程为x?y?2y?3?0. (2)联立直线参数方程与C的二次方程可得t?4?cos??sin?? t?4?0.结合直线参数的
22222是1???????2sin?3
?
几何意义有AM?AN???t1?t2? ? 42sin????????.利用三角函数的性质可知4?AM?AN的取值范围是4,42??.
详解：(1)由
?1????2sin?3得??2?sin??3.
2??2?x2?y2将?，代入上式中,
y??sin??得曲线C的普通方程为x?y?2y?3?0.
22?x??2?tcos?,22(2)将l的参数方程? (t为参数)代入C的方程x?y?2y?3?0,
?y?1?tsin?整理得t?4?cos??sin?? t?4?0.
2因为直线l与曲线C有两个不同的交点，
所以??42?cos??sin?? ?42?0,化简得cos?sin??0. 又0????,所以
2?2????，且cos?0,sin?0.
设方程的两根为t1,t2,则t1?t2?4?cos??sin???0，t1t2?4?0， 所以t1?0,t2?0,
所以AM?AN???t1?t2? ?4?sin??cos??? 42sin???由
?????. 4??2????，得
?4????4?3?， 4所以
???2????sin?????1,从而4?42sin ?????42，
4??24??即AM?AN的取值范围是4,42??.
点睛：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 23.已知函数f?x??xx?a,a?R.
（Ⅰ）当f?1??f??1??1，求a的取值范围；
?
（Ⅱ）若a?0，对?x,y????,a，都有不等式f?x??y?值范围.
?5?y?a恒成立，求a的取41【答案】（1）(??,?)（2）(0,5]
2【解析】 【分析】
（1）结合a取不同范围，去绝对值，计算a的范围，即可．（2）结合函数性质,计算f?x?的最大值,结合题意,建立关于a的不等式，计算a的范围，即可． 【详解】（Ⅰ）f?1??f??1??1?a?1?a?1，
若a??1，则1?a?1?a?1，得2?1，即a??1时恒成立； 若?1?a?1，则1?a??1?a??1，得a??11，即?1?a??； 22若a?1，则??1?a???1?a??1，得?2?1，此时不等式无解. 综上所述，a的取值范围是???,??. （Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立， 只需??f?x???max??y?4?y?a???1?2???5??min.
2?a?a?f???.
?2?4当x????,a时，f?x???x?ax，??f?x???max2?因为y?55?y?a?a?， 44??555?5?y??y?a?a?y??,a?a?所以当时， . ???444?4????mina25于是?a?，解得?1?a?5.
44结合a?0，所以a的取值范围是?0,5.
【点睛】本道题考查了绝对值不等式的解法，难度较大．
?