发布时间 : 星期四 文章2020高考数学(文)刷题首选卷：简单的三角恒等变换(含解析)更新完毕开始阅读1f6a8e43bcd5b9f3f90f76c66137ee06eff94ee2
＝
2tanα2×2
＝＝1． 22
tanα＋tanα－22＋2－2
二、模拟大题
2．(2018·咸阳质检)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，3)．
(1)求sin2α－tanα的值；
?π?(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝3f?－2x?－?2??2π?2
2f(x)在区间?0，?上的取值范围．
3??
解 (1)∵角α的终边经过点P(－3，3)， 133
∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－．
223∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－
333
＋＝－． 236
(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，
?π?2
∴g(x)＝3cos?－2x?－2cosx
?2?
π??＝3sin2x－1－cos2x＝2sin?2x－?－1，
6??2πππ7π
∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．
3666π?1?∴－≤sin?2x－?≤1，
6?2?π??∴－2≤2sin?2x－?－1≤1， 6??
?π??2π?2
故函数g(x)＝3f?－2x?－2f(x)在区间?0，?上的取值范围是[－2,1]．
3??2??
3??π??π??3．(2018·南昌调研)已知函数f(x)＝cosx·?sin?x＋?－3sin?x＋??＋．
3?2??4???π?θ5π?3
(1)若f?＋?＝，0<θ<，求tanθ的值；
2?212?10
(2)求f(x)的最小正周期及函数g(x)＝f?－?的单调增区间．
?2?3??π??π??解 f(x)＝cosx?sin?x＋?－3sin?x＋??＋ 3?2??4???33?1?
＝cosx?sinx＋cosx－3cosx?＋ 2?2?4
?x?
33?1?
＝cosx?sinx－cosx?＋
2?2?41332
＝sinxcosx－cosx＋ 2241333＝sin2x－cos2x－＋ 444413
＝sin2x－cos2x 44π?1?
＝sin?2x－?．
3?2?
?θ5π?3
(1)由于f?＋?＝，
?212?10
5ππ?31?
所以sin?θ＋－?＝，
63?102?133
即cosθ＝，所以cosθ＝． 2105
4?π?2
又θ∈?0，?，所以sinθ＝1－cosθ＝，
2?5?sinθ4
从而tanθ＝＝．
cosθ3
2π
(2)f(x)的最小正周期T＝＝π．
2π??x?1?又g(x)＝f?－?＝sin?－x－? 3??2?2?1?π?＝－sin?x＋?，
3?2?
ππ3π
令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
232π7π
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z，
66
π7π??故g(x)的单调增区间是?2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z)．
66??
5ππ3π
4．(2018·豫南九校4月联考)已知函数f(x)＝sin－2x－2sinx－cosx＋．
644(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
πππ3
(2)若x∈，，且F(x)＝－4λf(x)－cos4x－的最小值是－，求实数λ的值．
12332解 (1)∵f(x)＝sin
5ππ3π13
－2x－2sinx－cosx＋＝cos2x＋sin2x＋(sinx－64422
cosx)(sinx＋cosx)
1322＝cos2x＋sin2x＋sinx－cosx 2213
＝cos2x＋sin2x－cos2x 22π＝sin2x－，
6
2π
∴函数f(x)的最小正周期T＝＝π．
2πππ
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得
262
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为
π6π3
kπ－，kπ＋(k∈Z)．
π
(2)F(x)＝－4λf(x)－cos4x－ 3ππ2
＝－4λsin2x－－1－2sin2x－ 66ππ2
＝2sin2x－－4λsin2x－－1
66π22
＝2sin2x－－λ－1－2λ．
6ππππ∵x∈，，∴0≤2x－≤，
12362π
∴0≤sin2x－≤1．
6
π
①当λ<0时，当且仅当sin2x－＝0时，f(x)取得最小值，最小值为－1，这与已知
6不相符；
π2
②当0≤λ≤1时，当且仅当sin2x－＝λ时，f(x)取得最小值，最小值为－1－2λ，
63112
由已知得－1－2λ＝－，解得λ＝－(舍去)或λ＝；
222
π
③当λ>1时，当且仅当sin2x－＝1时，f(x)取得最小值，最小值为1－4λ，由已
635
知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ>1矛盾．
28
π6π3
1
综上所述，λ＝．
2