发布时间 : 星期六 文章高中数学联赛模拟题8更新完毕开始阅读1f6dcda558fafab068dc023b
全国高中数学联赛模拟试题8
一 试
一． 填空题
1. 已知数列?an?满足3an+1+an=4?n?1?,且a1?9，其前n项之和为Sn。则满足不等式
|Sn-n-6|<
1的最小整数n是____________. 125
2. 若sinx?siny?1，则cosx?cosy的取值范围是 ．
3. 有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。若取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为_______________.
4. 设函数f:R?R,满足f(0)?1，且对任意x,y?R,都有
f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2，则f(x)=_____________________；
5. 在四面体ABCD中AB?AC?AD?BC?1,BD?3,CD?2,则AD与BC所成的角为 .
6. 已知f(x)?3x?x?4,f(g(x))?3x?18x?50x?69x?48，那么整系数多项式函数g(x)的各项系数和为__________.
2432x2?2x?4?x2?10x?28?2的解集为 __________________.
?1?8. .若?x?表示不超过x的最大整数（如?1.3??1,??2???3等等）则
?4?1111???????? ????????????2?1??2??3?2?3?200?42?0032004????4??34?7. 不等式?2?＝____________________．
二． 解答题
k3?11n?2，令Sn??9. 对n?N*，，，求证：. T?ST?n?3nn243k?11?k?kk?1k?2nkn
2210. 已知圆C:x?y?2x?4y?4?0,直线l:y?x?b。
（１） 若直线l与圆C相切，求实数b的值；
（２） 是否存在直线l，使l与圆C交于A,B两点，且以A,B为直径的圆过原点？ 如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，说明理由．
211. 设函数f(x)?ax?8x?3(a?R).
（1）若g(x)?xf(x),f(x)与g(x)在x同一个值时都取得极值，求a的值.
（2）对于给定的负数a，有一个最大的正数M(a)，使得x?[0,M(a)]时，恒有|f(x)|?5.
①M(a)的表达式； ②M(a)的最大值及相应的a值.
二 试
一. 直角三角形ABC中，E,F分别是直角边AB,AC上的任意点，自A向
BC,CE,EF,FB引垂线，垂足分别是M,N,P,Q。 证明：M,N,P,Q四点共圆.
二. 设n?N,x0?0,xi?0,i?1,2,3,?,n，且
*?xi?1ni?1，求证：
1??i?1nxi1?x0?x1???xi?1xi?xi?1???xn??2。
三. 试求最小的正整数n,使得对于任何n个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是7的倍数.
四. 设T为所有n元数组(x1,x2,?,xn)的集合，xi=0,1(i=1,2, ?,n)，n=2k-1,k?6,k∈Z,对于T中的x=(x1,x2,?,xn)与y=(y1,y2,?,yn),令d(x,y)为满足xj≠yj(1?j?n)的j个
k
数,特别地，d(x,x)=0，设有一个T的具有2个元素的子集S，具有以下性质：对T的任何一个元素x，S中有唯一的元素y满足d(x,y)?3，求n之值。
模拟试题8参考答案
1. 答案:由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-
1的等比数列，318[1?(?)n]1n13=6-6×(-1)n，∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+?+(an-1)=∴|Sn-n-6|=6×()<，
1331251?3得：3>250，∴满足条件的最小整数n=7。
2. 答案:[?3,3] 提示：平方相加.
3.答案:符合要求的取球情况共有四种：红红白黄黄，红红黄黄黄，红白白白黄，红白白黄黄,故不同的取法数为C3C5?C5?C2C3C5?C2C3C5?110. 4. 答案：?对?x,y?R,有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2,
123131122n-1
?有f(xy?1)?f(y)f(x)?f(x)?y?2
?f(x)f(y)?f(y)?x?2=f(y)f(x)?f(x)?y?2 即f(x)?y?f(y)?x,令y?0,得f(x)?x?1。
?5.答案:60°，可证?BCD为直角三角形且?BCD?90，又AB=AC=AD=1，故A在面BCD内的射影即为?ABC之外心，而?BCD为直角三角形，故其射影即为BD中点O，在面BCD
内作DD?//BC,BD?//CD,它们交于D?，则DD??BC?1,且AD??AC?1,故?ADD?为正三角形，于是AD与BC所成之角即为AD与DD?所成的角等于60。
?6. 答案:设g(x)的各项系数和为s，则f(g(1))=3s-s+4=188. 解得s=8或s??2
23（舍去）。 37. 答案:{x|3-2?x?3?2}.
22原不等式即为|(x?1)?3?(x?5)?3|?2.
令3=y，不等式可化为|2
(x?1)2?y2?(x?5)2?y2|?2.
2
y2由双曲线的定义知，满足上述条件的点在双曲线(x-3)-因此，?1的两支之间的区域内。
3?y22?1,?(x?3)?原不等式与不等式组?同解。所以，原不等式的解集为3?y2?3?{x|3?2?x?3?2}.
????118. 答案:2003．提示： ??=??
??n?1?n?(n?1)???n?1(n?1?n)??n?1?n??n?1? =? = ??? = 1
n?1n?1????三．解答题
k3?11n?2，令Sn??9. 对n?N*，，，求证：. T?ST??nnn2433k?11?k?kk?2k?1nkn证明：Sn?k ??24221?k?k(k?k?1)(k?k?1)k?1k?1n1?111?11?? ???2?2????2? 22k?k?1k?k?121?1?1n?n?1????k?1 ?nknn2?n ?2(n2?n?1)nnnk3?1(k?1)(k2?k?1)k?1nk2?k?1 ?? Tn??3 ????22k?1(k?1)(k?k?1)k?1(k?1)?(k?1)?1k?2k?2k?2k?21?2n2?n?12(n2?n?1) ?， ?2?n?(n?1)1?1?13n(n?1)n2?n2(n2?n?1)1 故SnTn???，得证. 22(n?n?1)3n(n?1)3222210. 解：（1）由x?y?2x?4y?4?0，整理得(x?1)?(y?2)?9
3?b若直线和圆C相切，则有圆心(1,?2)到l的距离d?r，即?3,b??3?32
2?y?x?bl（2）、设存在满足条件的直线，由?2 消去y，得 2?x?y?2x?4y?4?02x2?(2?2b)x?b2?4b?4?0 （1）
设直线l和圆C的交点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1,x2是方程（1）的两根
b2?4b?4x1x2?;x1?x2??b?1 （2）
2由题意有：OA?OB,即x1x2?y1y2?0
即x1x2?(x1?b)(x2?b)?0
即2x1x2?b(x1?x2)?b2?0 （3）
将（2）代入（3）得：b?3b?4?0 ，解得：b?1或b??4．
或y?x?4 所以满足条件得直线l为：y?x?124时取得极值. ag(x)?ax3?8x2?3x,g'(x)?3ax2?16x?3，
42416由题意得 3a(?)?16(?)?3?0，解得 a?.
aa3421616⑵ ① 由a?0，f(x)?a(x?)?3?，知fmax(x)?3?.
aaa16?5，即?8?a?0时，要使|f(x)|?5，在x?[0,M(a)]上恒成立，而当 3?aM(a)要最大的，所以M(a)只能是方程ax2?8x?3?5的较小根.
11. 解：⑴ 易知a?0，f(x)在x?? 因此，M(a)?当3?2a?16?4. a16?5，即a??8时，同样道理M(a)只能是方程ax2?8x?3??5的较大根，a?24?2a?4. M(a)?a?2a?16?4?a?(?8,0)?a综上得M(a)?? ??24?2a?4a?(??,?8]?a?② 当a?(?8,0)时，M(a)?2a?16?421??；
a2a?16?42?24?2a?4445?1当a?(??,?8]时，M(a)?. ???a24?2a?220?25?1故当且仅当a??8时，M(a)有最大值.
2二 试
一. 证明：?A,E,N,P共圆,??CNP??EAP??AFP,?A,N,M,C共圆，
??CNM??CAM,又A,B,M,Q
共圆,??MQB??MAB,由A,P,Q,F