发布时间 : 星期一 文章线性代数（同济大学第五版）行列式讲义、例题更新完毕开始阅读1fc575252af90242a895e5d1
第一章 行列式
行列式是研究线性方程组的一个有力工具,本章给出了行列式的定义、性质及其计算方法.
§1 全排列及其逆序数
一、排列及其逆序数定义
对于n个不同的元素,可以给它们规定一个次序,并称这规定的次序为标准次序.例如1,2,?,n这n个自然数,一般规定由小到大的次序为标准次序.
定义1 由n个自然数1,2,?,n组成的一个有序数组i1,i2,?,in,称为一个n元全排列,简称为排列.
例如由1,2,3这三个数组成的123,132,213,231,312,321都是3元（全）排列.
定义2 在一个排列里,如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面,就说这两个数码构成一个逆序（反序）,在一个排列里出现的逆序总数叫做这个排列的逆序数,用?(i1,i2,?,in)表示排列i1,i2,?,in的逆序数.
根据定义2,可按如下方法计算排列的逆序数：
设在一个n级排列i1i2?in中,比it(t?1,2,?,n)大的且排在it前
第1页 面的数共有ti个,则it的逆序的个数为ti,而该排列中所有数的逆序的个
数之和就是这个排列的逆序数．即
n?(i1i2?in)?t1?t2???tn??ti.
i?1例1 计算排列45321的逆序数.
解 因为4排在首位,故其逆序数为0；
比5大且排在5前面的数有0个,故其逆序数为0； 比3大且排在3前面的数有2个,故其逆序数为2； 比2大且排在2前面的数有3个,故其逆序数为3； 比1大且排在1前面的数有4个,故其逆序数为4． 可见所求排列的逆序数为
?(45321)?0?0?2?3?4?9．
定义3 逆序数为偶数的排列叫做偶排列, 逆序数为奇数的排列叫做奇排列.
?(i1,i2,?,in)=i2前面大于i2的元素个数+i3前面大于i3的元素的个
数???in前面大于in的元素的个数,例如:
?(2341)?0?0?3?3, 逆序数为3,?(2341)为奇排列. ?(4321)?1?2?3?6, 逆序数为6,?(4321)为偶排列.
定义4 把一个排列中某两个数码i和j互换位置,而其余数码不动,就
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得到一个新排列.对一个排列所施行的这样一个变换叫做一个对换.
例如排列2341经过元素2,4对换变成排列4321,可记为2341??(2?,4)?4321 定理1 对换改变排列的奇偶性.
证明 先证相邻对换
设排列为a1?alabb1?bm对换a与b.a1?albab1?bm 当a?b时, 经对换后a的逆序数增加1 ,b的逆序数不变; 当a?b时, 经对换后a的逆序数不变,b的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性.
再证非相邻对换,现设排列为 a1?alab1?bmbc1?cn现来对换a与b
?am次相邻对换1?alab1?bmbc1?cn??????a1?alabb1?bmc1?cn am?1次相邻对换1?alabb1?bmbc1?cn??????a1?albb1?bmac1?cn
?a2m?1次相邻对换1?alab1?bmbc1?cn???????a1?albb1?bmac1?cn
因此对换两个元素,排列改变奇偶性.
也就是说,只要经过一次对换,奇排列变成偶排列,而偶排列变成奇排
第3页 列.
推论 奇排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数.
二、排列及其逆序数性质与定理
性质1设i1i2?in和j1j2?jn是n个数码的任意两个排列,那么总可以通过一系列对换由i1i2?in得出j1j2?jn.
引理1 对换的可逆性——即对同一排列连续施行两次同一对换排列还原.所以任意n元排列i1i2?in可经过一系列对换变为自然排列12?n.而自然排列12?n可经一系列对换变为任意一个n元排列j1j2?jn.
事实上,由引理1可知：任意一个n元排列j1j2?jn可经一系列对换
变为自然排列12?n,由引理1对换的可逆性,故自然排列可经（同样的）一系列对换变为任一排列.
定理2 n?2时,n个数码的排列中,奇排列与偶排列的个数相等,均为
n!2个.
证明：设n个数的排列中,奇排列有p个,偶排列有q个,则p?q?n!,对p个奇排列,施行同一对换,则由定理1得到p个偶排列.（而且是p个
不同的偶排列）因为总共有q个偶排列,所以p?q.
同理 q?p.
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所以 p?q?n！2.
§2行列式的定义
引言 三阶行列式的构成规律为：a11a12a13a21a22a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a31a32a33 ?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32
a11a12a13其中：符号aa22a22123是由3个元素aij构成的三行、
三列方表,a31a32a33横排叫行,纵排叫列；在上述形式下元素aij的第一个下标叫行下标,第二个下标叫列下标.从形式上看,三阶行列式是上述特定符号表示的一个数,这个数由一些项的和而得：
1）项的构成：由取自不同的行又于不同的列上的元素的乘积；
2）项数：三阶行列式是3！=6项的代数和；
3）项的符号：每项的一般形式可以写成a1j1a2j2a3j3时,即行标为自
第5页 然排列时,该项的符号为(?1)?(j1j2j3),即由列标排列j1j2j3的奇偶性决
定.
一、n阶行列式的定义 定义5 n阶行列式定义为
a11a12?a1nA?a21a22?a2nj1j2?jn)??(i1i2?in)??????(?1)?(ai1j1ai2j2?ainjni1i2?inaj1j2?jnn1an2?ann
a11a12?a1n用符号
a21a22?a2n2???? 表示由n个数aij所组成的n阶行列
an1an2?ann式,简记为A或D,这是一个数,
其中i1i2?in和j1j2?jn都是n级排列,?表示对所有的n级排
列求和.
由定义可以看出,n阶行列式的值等于所有取自不同的行、不同的列上的n个元素的乘积ai1j1ai2j2?ainjn的代数和,共有n!项,每一项前面的符
号由排列i1i2?in和j1j2?jn的逆序数?(i1i2?in)+?(j1j2?jn)决定.
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另外行列式的还可以定义为
a11a12?a1nA?a21a22?a2n??????(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn
an1an2?ann或
a11a12?a1nA?a21a22?a2n??????(?1)?(i1i2?in)ai11ai22?ainn
an1an2?ann以上两个定义式分别以行列的排列为标准序列,其每一项前面的符号有j1j2?jn和i1i2?in的逆序数决定.
例2 在四阶行列式中,a21a32a14a43应带什么符号？
解 1）按行列式定义5计算,因为a21a32a14a43?a14a21a32a43,
而4123的逆序数为 ?(4123)?0?1?1?1?3,
所以a21a32a14a43的前面应带负号.
2）按行列式定义5计算,因为a21a32a14a43
行指标排列的逆序数为 ?(2314)?0?0?2?0?2,
第7页 列指标排列的逆序数为 ?(1243)?0?0?0?1?1. 所以a21a32a14a43的前面应带负号.
a11a1200例3 计算行列式
a210a2300a.
3200000a44分析 按行列式定义,每一项都是取自不同行不同列的4个元素的乘积,共有4!项.但此行列式中有很多零元素,因此有的项为零,故只需找出不含零元素的项,不妨设各个字母表示的都是非零元素.于是在第一行中只有两个非零元素a11和a12.当第一行取a11时,第二行只能取a23（a21与a11同列,故不能取）,第三行只能取a32,第四行只能取a44,即a11a23a32a44是其中的一项.另外,当第一行取a12时,第二行可以取a21和a23,但当第二
行取a23,第三行只能取零元素,故第二行只可以取a21,第三行取a33,第四
行取a44,即另一非零项为a12a21a33a44.
解 D?(?1)?(1324)a?(2134)11a23a32a44?(?1)a12a21a33a44 ??a11a23a32a44?a12a21a33a44
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