发布时间 : 星期五 文章线性代数（同济大学第五版）行列式讲义、例题更新完毕开始阅读1fc575252af90242a895e5d1
33D??2????1????(???)2?????????? 结论成立.
假设n?k时,等式成立,则只需证明当n?k时,把Dk按其第1行展开,有
?????0?001??????00D1????00k?0??????
000??????000?1????????0?001??????00?(???)01????00??????
000??????000?1???k?1 第25页 ?????0?001??????00???01????00??????
000??????000?1???k?2?(???)Dk?1???Dk?2
k1?(???)???k?k?1??k??????????
?1k?1??k?????
故对一切自然数n,结论都成立. 六、 利用已知行列式,进行计算,其中最重要的已知行列式是范德蒙行列式.
an(a?1)n?(a?n)nan?1(a?1)n?1?(a?n)n?1例13计算n阶行列式Dn?1????.
aa?1?a?n11?1解：把Dn+1的第n+1行换到第1行,第n行换到第2行,…,同时将Dn+1
的第n+1列换到第1列,第n列依次换到第2列,…,再有范德蒙行列式,得 第26页
11?1D?na?n?1?an?1?a???
(a?n)n(a?n?1)n?an ?n!(n?1)!?2!??(i?j).
1?j?i?n?1七、加边升阶法，即不改变行列式的值的前提下适当增加一行一列或m行m列,以便容易求值.
x21?1x1x2?x1xn2例14计算n阶行列式Dx2x1x2?1?x2xnn????.
xnx1xnx2?x2n?11x1x2?xn0x21?1x1x2?x1xn解 Dn?0x2x1x22?1?x2xn ????0xnx1xnx2?x2n?1从第二行开始依次减去第一行的xi(i?1,2,?,n)倍,得
第27页 1x1x2?xn?x110?0上式??x201?0 ?????xn00?1从第二列开始依次乘xi(i?1,2,?,n)倍加到第1列上的,得
n1??x2jx1x2?xnj?1010?0n上式?2001?0?1??xj
j?1????000?12n?22n?1?2?23?223n?33n?1?3?33?36例15计算n阶行列式D?4n?44n?1?4?43?412.
?????nn?nnn?1?n?n3?nn2?n解： 对原行列式加边,增加第1行全为1,第一列除a11外全为0,构造新的行列式为：
第28页
111?102n?22n?1?2?2D?03n?33n?1?36 ?????0nn?nnn?1?n?n2?n将第1行乘以i加到第i(i?2,3,?,n)行,第i行提取因数
i(i?2,3,?,n),得：
111?112n?12n?2?2D?n!13n?13n?23
?????1nn?1nn?2?n将第n列逐列移到第2列,第n?1逐列移到第3列,等等,即得范德蒙德行列式,故
(n?1)(n?2)nD?(?1)2?(k!).
k?1x?a1a2?an例16 计算n阶行列式D?a1x?a2?an???,(x?0).
a1a2?x?an 第29页 1a1a2?an0x?a1a2?an解：D?0a1x?a2?an
????0a1a2?x?an1a1a2?an第i行减第1行?1x0?0i?2,3,?,n?1?10x?0 ?????100?xn1??aja2?anj?1xa1第i列乘以10x0?0x加到第1列上00x?0
i?2,3,?,n?1?????100?xn?xn??aj??1????j?1x?. ?八、析因子法,若行列式D中一些元素是x（或某个参变量）的多项式常用析因子法.
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1123例17 计算行列式 D?12?x2232315
2319?x2解 D可以看作关于x的多项式f(x).观察D的一次因式, 当x??1时,
1123f(?1)?11232315?0
2318当x??2时,
1123f(?2)?1?2232315?0
2315可见f(x)有因子：x?1,x?1,x?2,x?2
另外,从行列式定义可知,D中含有x的最高次数为4. 故D?C(x?1)(x?1)(x?2)(x?2) 令x?0,直接计算得D??12,于是C??3
第31页 故D??3(x?1)(x?1)(x?2)(x?2).
xa1a2?an?21a1xa2?an?11例18 计算行列式 D?a1a2x?an?11?????
a1a2a3?x1a1a2a3?an1解 观察行列式的特点,当x取a1,a2,?,an时,行列式都有两行相同,且此时的行列式值为零.故可将行列式看作关于x的多项式,且此多项式
有因子x?a1,x?a2,?,x?an.
故可设D?C(x?a1)(x?a2)?(x?an)
D中最高项为xn,系数为1.故C?1
即行列式为D?(x?a1)(x?a2)?(x?an).
以上方法,前三种方法是最基本的,需要指出的是：行列式的计算方法往往不是唯一的,有时需要多种方法交叉使用.由于行列式的计算方法很多,但具体到一个题目用什么方法去解往往不是一件容易决定的事情,必须首先观察行列式的具体特征,根据行列式的具体特征选择方法.
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§5 克莱姆（Cramer）法则
本节作为行列式的应用,完满地解决了含n个未知量n个方程的线性方程组,在其系数行列式不为零时,其解的存在性、个数及求解（公式）问题；理论完整且重要,定理的证明可按消元法的思想运用行列式的依行依列展开公式为之.
设给定一个含n个未知量n个方程的线性方程组： ?a11x1?a12x2???a1nxn?b?1?a?21x1?a22x2???a2nxn?b2 （1???） ??an1x1?an2x2???annxn?bna11a12??a1n?????其系数构成的行列式D?ai1ai2??ain叫做方程组（1）?????an1an2??ann的(系数)行列式.
克莱姆（Cramer法则）对线性方程组(1),当它的(系数)行列式D?0时有且仅有一个解:x1D21?DD,x2?D,?,xDnn?D.其中Dj是把D的
第j列的元素换以方程组的常数项b1,b2?,bn而得到的n阶行列式.
推论 含有n个未知数n个方程的齐次线性方程组
第33页 ?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a?21x1?a22x2???a2nxn?0 （2） ?????an1x1?an2x2???annxn?0当它的(系数)行列式D?0时仅有零解. 例19求一个一元二次多项式f(x),使满足
f(1)?0,f(2)?3,f(?3)?28.
解：设所求多项式为f(x)?ax2?bx?c, 由条件f(1)?0,f(2)?3,f(?3)?28. ?a?b?c?0可知??4a?2b?c?3
??9a?3b?c?28111011A?421??20,D1?321??40,9?3128?31101110D2?431?60,D3?423??20 92819?328由克莱姆法则,得a?2,b?-3,c?1,知f(x)?2x2-3x?1.
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