发布时间 : 星期五 文章2018年全国各地高考数学一题多解：全国II卷（含答案）更新完毕开始阅读1fc8554aae45b307e87101f69e3143323868f55a
全国II卷
【理数10题】已知直三棱柱??C??1?1C1中，???C?120，???2，?C?CC1?1，则异面直线??1与?C1所成角的余弦值为（ ）
A．331510 B． C． D． 2355【答案】C 【考点】 线面角
解法二：向量法：取空间向量的一组基底为BA,BC,BB1，则AB1?BB1?BA，
??BC1?BC?CC1?BC?BB1，易知AB1?5，BC1?2，
AB1?BC1?(BB1?BA)?(BC?BB1)=BB1?BC?BB1?BA?BC?BA?BB1=2，
所以异面直线??1与?C1所成角的余弦值为cos?AB1,BC1??案为C.
解法三：建系法：如图所示，以垂直于BC的方向为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1(0,0,1),A(3,?1,0),BC1?(0,1,1),AB1?(?3,1,1)，所以异面直线??1与?C1所成角的余弦值
2AB1?BC1AB1?BC1?210，故本题答?52?5cos??AB1?BC1AB1?BC1?1?110?，故本题答案为C.
52?5
【理数12题】已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA?(PB?PC)的最小值是（ ） A.?2 B.?【答案】B
【考点】 平面向量的坐标运算、函数的最值
【分析】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”,即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”,即利用平面向量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 【解析】
34 C. ? D.?1 23解法二：极化恒等式：取BC的中点为M，则PB?PC?2PM，于是PA?(PB?PC)?2PA?PM，根据极化恒等式可得
2113322???(2PN)2?(MA)2??PN???，故选B. PA?PM=?(PA?PM)?(PA?PM)?4??4?44解法三：代数法：如图所示，若PA?(PB?PC)取最小值，则PA与PB?PC反向共线，即点P位于?ABC22的中线上，中线长为2?1=3，设PA?x，则PB?PC=2(3?x)，因此
PA?(PB?PC)??PA?PB?PC??x?2(3?x)?2x2?23x；
当x?23323时，PA?(PB?PC)取得最小值，此时，PA?(PB?PC)=?2PA??2?()??. 222