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数形结合思想及其在教学中的应用
摘要：数、形是数学中两大基本概念，可以说全部数学大体上都是围绕这两个
基本概念的提炼、演变、发展而展开的。数形结合是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起。数形结合是贯穿中小学数学教学始终的基本思想，同时在高等数学教学中它也有很大的益处。
关键词：数形结合；数学教学；数学思想
目 录
1 绪论 ................................................................................................................................................ 1
1.1 数形结合思想方法概述 ..................................................................................................... 1 1.2 数形结合思想方法历史演进 ............................................................................................. 1 2 数形结合思想在初等数学教学中的应用 .................................................................................... 6
2.1 数形结合思想在小学数学教学中的应用 ......................................................................... 6 2.2 数形结合思想在初中数学教学中的应用 ......................................................................... 9
2.2.1 数形结合思想在初中数学教学中的地位 .............................................................. 9 2.2.2 数形结合思想在初中数学教学的应用举例 ........................................................ 10 2.3 数形结合思想在高中数学教学中的应用 ....................................................................... 12
2.3.1数形结合思想在高中数学教学中的地位 ............................................................... 12 2.3.2 数形结合思想在高中数学教学的应用举例 ........................................................ 13 2.3.3 数形结合思想的课堂灌输 .................................................................................... 17
3 数形结合思想在高等数学教学中的应用 .................................................................................. 19 4 结束语 .......................................................................................................................................... 24 致谢 .................................................................................................................................................... 26 参考文献 ............................................................................................................................................ 27
1 绪论
数学教育不像“纯”学科中的科学，是严重影响文化、社会和政治的力量[1]。数学解题研究是我国数学教育研究的一个特色工作，并构成一个具有中国特色的文化现象。在我国数学教育研究群体中有一支庞大的解题研究队伍，同时我国的各类数学教学杂志中也会常设一些解题研究栏目。但数学解题研究不能局限于解题技巧的直接展示，更不能停留于解题方法的简单呈现，而应注重解题时数学思想和方法的体现。
所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识，是数学教学中的精髓之一。任何数学事实的理解，数学概念的掌握，数学理论的建立，都是数学思想和方法的体现和应用。一个重大数学成果的取得，往往与数学思想和方法的突破分不开，这些数学成果无不是数学思想和方法完美结合的产物。
我们常用的数学思想方法有：转换的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法，换元法，待定系数法，反证法等。其中，“数形结合”是贯穿数学教学始终的基本思想方法，它成为我国数学教育界教与学、理论与实践多极研究汇聚的衔接点。“数形结合”已成为我国数学教育界一道独特的靓丽风景线，不仅仅在数学教育界，它的应用也已经辐射到了物理等基础理科教育界。
1.1 数形结合思想方法概述
数形结合是解数学题中常用的思想方法，很多问题使用数形结合的方法都能迎刃而解，且解法简捷。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，“数”是数量关系的体现，而“形”则是空间形式的体现。“数”和“形”常依一定的条件相互联系，抽象的数量关系常有形象与直观的几何意义，而直观的图形性质也常用数量关系加以精确的描述。我们在研究数量关系时，有时要借助于图形直观地去研究，而在研究图形时，又常借助于数量关系去探求。华罗庚教授曾精辟概述:“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形无数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非：切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。”[2]
1.2 数形结合思想方法历史演进
数与形是数学中的两大基本概念，一部数学史主要是数和形的概念产生、发展、变迁的历史，现代数学也是围绕着这两个概念对其不断抽象、概括、提炼而发展起来的。随着时间的流逝，数学内涵的不断扩充，数学中最原始的对象数与形这两个概念自身也处于不断变化
中。从最初由于计数的需要而产生的自然数到欧几里得撰写的《几何原本》，再从笛卡尔创立解析几何学到近、现代数学中的几何学，数形结合一直贯穿于数学发展的全过程。
(1) 数的产生源于计数，是对具体物体的计数，而产生数的概念之后，用来表示“数”的工具却是一系列的“形”，在古代的各种各样的计数法中，都是以具体的图形来表达抽象的数。中国的算筹和算盘可算是历史最长的计数工具，也是数形结合的典型范例。“数”产生于各种“形”的计算，“数”又借助于“形”得以记录，使用，计算。早在古希腊数学时期，毕达哥拉斯学派在研究数时，就常常把数同沙砾或画在平面上的点联系起来，按照沙砾或点子的形状将数进行分类，进而结合图形性质推出数的性质。“形”推动了“数”的发展，这是早期“数”与“形”相结合的体现。
(2) 古希腊亚历山大时期的欧几里得，运用公理化方法写了千古流芳的著作—《几何原
本》，使最早的数学发展以几何学为主要特征[3]。这时期从几何的研究上去处理等价的代数问题是很自然的。如用线段代替数，两数乘积的意义是两边长等于两数的矩形面积，三数乘积是一体积。两数相加看成是一线段的延长，相减说成是从一线段割去另一线段之长。“若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两线段上的正方形加上以两段为边的矩形。”这一几何事实反应的代数问题就是(a?b)2?a2?2ab?b2（如图1.2）。这种用几何来研究代数的方法对后来阿拉伯人的代数研究有着深远的影响，在解一元二次方程中发挥了很大的作用。另外，形的相互关系的比较、度量，促进了数的概念的发展，丰富了计算方法。典型例子是毕达哥拉斯学派不可公度线段（无理数）的发现。
b
a
a
22b
2图1.2：(a?b)?a?2ab?b
(3) 数轴的建立使人类对形与数的统一有了初步的认识，把实数与数轴上的点一一对应起来，数可以视为点，点可以视为数，点在直线上的位置关系可以数量化，而数的运算(特别是有理数的运算)也可以几何化。1637年，笛卡尔的《几何学》著作中，他首次明确提出