发布时间 : 星期五 文章高考数学总复习课时训练 第九章 平面解析几何第5课时 直线与圆的位置关系（含答案）更新完毕开始阅读20d2b2bc876a561252d380eb6294dd88d1d23d1b
高考 精品
第九章 平面解析几何第5课时 直线与圆的位置关系
1. 已知圆C：x＋y＝4，则直线x＋y＝1被圆C截得的弦长为_________． 答案：14
21
解析：圆心(0，0)，半径r＝2，弦心距d＝.弦长l＝2r2－d2＝24－＝14.
22
5
2. (必修2P106练习3(2)改编)过坐标原点且与x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切的直线的方程
2
为__.
1
答案：y＝－3x或y＝x
3
5
解析：过坐标原点的直线为y＝kx与圆x2＋y2－4x＋2y＋＝0相切，则圆心(2，－1)
2
|2k＋1|10101
到直线的距离等于半径，即＝，解得k＝或k＝－3，所以切线方程为y＝－
2231＋k2
1
3x或y＝x.
3
3. 设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为________． 答案：相切或相离
1＋m1＋m1
解析：圆心到直线l的距离为d＝，圆半径为m.因为d－r＝－m＝(m－2m
222
1
＋1)＝(m－1)2≥0，所以直线与圆的位置关系是相切或相离．
2
4. 过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则AB的最小值为________．
答案：2
解析：设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则切线方程为x0x＋y0y＝1.分别令x＝
11?1?2?1?211????0，y＝0得A?x，0?，B?0，y?，则AB＝?x?＋?y?＝≥22＝2.当且仅当x0＝
x0y0x0＋y00000
2
y0时，等号成立．
5. 若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a＝________． 答案：1
1?21?解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为y＝，画图可知?a?＋(3)2＝22，解得a＝
a
1.
6. 若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________． 答案：[－3，1] 解析：欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，只需使圆心到直线的距离小
|a－0＋1|
于等于圆的半径2即可，即2≤2，化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
1＋（－1）2
2
2
7. 已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，a1，a2，…，a11是该圆过点(3，5)的11条弦的长，若数列a1，a2，…，a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．
5－26答案： 5
解析：容易判断点(3，5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的
10－465－26
弦最短，因此，过(3，5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为＝.
105
8. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：x－y＋3＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相交于A、
高考 精品
→→→
B两点．若OA＋2OB＝3OC，且点C也在圆O上，则圆O的半径r＝________．
答案：32
→→→→→→→→
解析：将OA＋2OB＝3OC两边平方，得OA2＋4OA·OB＋4OB2＝3OC2，即r2＋4r2cos
2π132
∠AOB＋4r2＝3r2，则cos∠AOB＝－，所以∠AOB＝.又圆心O到直线l的距离d＝，
232
所以r＝2d＝32.
9. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x＋3)2＋(y－1)2＝4.若直线l过点A(4，0)，且被圆C截得的弦长为23，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂径定理，得圆心C到直线l
|－3k－1－4k|23?22
的距离d＝22－?＝1，结合点到直线距离公式，得＝1，化简得24k
?2?k2＋1
77
＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.故所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或
2424
7x＋24y－28＝0.
10. 已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0. (1) 求直线l斜率的取值范围；
1
(2) 直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
2
m4mm
解：(1) 直线l的方程可化为y＝2x－2，此时斜率k＝2.
m＋1m＋1m＋1
1|m|1
因为|m|≤(m2＋1)，所以|k|＝2≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．
2m＋12
11－，?. 所以斜率k的取值范围是??22?
1
(2) 不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤；圆C的圆心为C(4，－2)，半径
2
214r
r＝2，圆心C到直线l的距离d＝.由|k|≤，得d≥>1，即d>.若l与圆C相交，
2251＋k2
2π1
则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于，所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的
32
两段圆弧．
11. 如图，已知圆心坐标为M(3，1)的圆M与x轴及直线y＝3x均相切，切点分别为A、B，另一圆N与圆M、x轴及直线y＝3x均相切，切点分别为E、C、D.
(1) 求圆M和圆N的方程；
(2) 过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度．
解：(1) 由于圆M与∠BOA的两边均相切，故M到OA及OB的距离均为圆M的半径，则M在∠BOA的平分线上．同理，N也在∠BOA的平分线上，即O、M、N三点共线，且OMN为∠BOA的平分线．∵M的坐标为(3，1)，∴M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝1.设圆N的半径为r，其与x轴的切点为C，连
OMMA21
结MA、NC，由Rt△OAM∽Rt△OCN可知＝，即＝r＝3，则OC＝33，
ONNC3＋rr则圆N的方程为(x－33)2＋(y－3)2＝9.
(2) (解法1)由对称性可知，所求的弦长等于过A点直线MN的平行线被圆N截得的弦
高考 精品
的长度，此弦的方程是y＝
33
(x－3)，即x－3y－3＝0，圆心N到该直线的距离d＝，32
则弦长为2r2－d2＝33. 33
(解法2)求得B?，?，再得过B与MN平行的直线方程x－3y＋3＝0，圆心N到
?22?3
该直线的距离d＝，则弦长为2r2－d2＝33.(也可以直接求A点或B点到直线MN的距
2
离，进而求得弦长)
12. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2＝r2和直线l：x＝a(其中r和a均为常数，且0 < r < a)，M为l上一动点，A1，A2为圆C与x轴的两个交点，直线MA1，MA2与圆C的另一个交点分别为P、Q.
(1) 若r＝2，M点的坐标为(4，2)，求直线PQ方程； (2) 求证：直线PQ过定点，并求定点的坐标． (1) 解：当r＝2，M(4，2)， 则A1(－2，0)，A2(2，0)．
直线MA1的方程：x－3y＋2＝0， ?x2＋y2＝4，?86?
，. 解?得P?55???x－3y＋2＝0?
直线MA2的方程：x－y－2＝0，
22??x＋y＝4，解?得Q(0，－2)． ?x－y－2＝0?
由两点式，得直线PQ方程为2x－y－2＝0.
(2) 证明：(证法1)由题设得A1(－r，0)，A2(r，0)． 设M(a，t)，
tt
直线MA1的方程是y＝(x＋r)，直线MA2的方程是y＝(x－r)．
a＋ra－r
?x2＋y2＝r2，
?解? t
y＝（x＋r），??a＋r
r（a＋r）2－rt22tr（a＋r）??，得P??. ?（a＋r）2＋t2（a＋r）2＋t2?x2＋y2＝r2，??解? t
y＝（x－r），??a－r
rt2－r（a－r）22tr（a－r）??，－得Q?. 22
（a－r）2＋t2??（a－r）＋t?
2at
于是直线PQ的斜率kPQ＝222，
a－t－r2tr（a＋r）r（a＋r）2－rt22at
直线PQ的方程为y－＝(x－)．
（a＋r）2＋t2a2－t2－r2（a＋r）2＋t2
r2?r2?上式中令y＝0，得x＝，是一个与t无关的常数．故直线PQ过定点?a，0?.
a
(证法2)由题设得A1(－r，0)，A2(r，0)． 设M(a，t)，
t
直线MA1的方程是y＝(x＋r)，与圆C的交点P设为P(x1，y1)．
a＋rt
直线MA2的方程是：y＝(x－r)，与圆C的交点Q设为Q(x2，y2)．
a－r
则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲线[(a＋r)y－t(x＋r)][(a－r)y－t(x－r)]＝0上， 化简得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)＋t2(x2－r2)＝0，①
高考 精品
又有P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2＋y2－r2＝0. ②
①－t2×②得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)－t2(x2－r2)－t2(x2＋y2－r2)＝0， 化简得(a2－r2)y－2t(ax－r2)－t2y＝0.
所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)－t2y＝0.③
r2?r2?在③中令y＝0得x＝，故直线PQ过定点?a，0?.
a