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【2013年中考攻略】专题19：动态几何之定值问题探讨
动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。
结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。
一、线段（和差）为定值问题： 典型例题： 例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R． （1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= 12（不需证明）． 5（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想． 【答案】解：（2）图2中结论PR＋PQ=
12仍成立。证明如下： 5连接BP，过C点作CK⊥BD于点K。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD=90°。
又∵CD=AB=3，BC=4，∴BD?CD2?BC2 ?32?42?5。
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1112BC?CD=BD?CK，∴3×4=5CK，∴CK=。 225111∵S△BCE=BE?CK，S△BEP=PR?BE，S△BCP=PQ?BC，且S△BCE=S△BEP＋
222∵S△BCD=
S△BCP，
111BE?CK=PR?BE＋PQ?BC。 222111又∵BE=BC，∴CK=PR＋PQ。∴CK=PR＋PQ。
2221212又∵CK=，∴PR＋PQ=。
5512（3）图3中的结论是PR－PQ=．
5∴
【考点】矩形的性质，三角形的面积，勾股定理。
【分析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明。
（3）图3中的结论是PR－PQ=125 。
连接BP，S△BPE－S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两
12个底，PR，PQ 分别为高，从而PR－PQ=。
5 例2：（2012江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．
（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．
①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；
②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；
③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．
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【答案】解：（1）∵抛物线y?x2?4x?3??x?2??1，
∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。 （2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：
对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。 ②存在实数k，使△ABP为等边三角形．
∵y?kx2?4kx?3k?k?x?2??k，∴顶点P（2，－k）． ∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2
要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|=3， ∴k=±3。
③线段EF的长度不会发生变化。 ∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，
∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。 ∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。
【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。 【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。
（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。
②当△ABP为等边三角形时，P点必为函数的顶点，首先表示出P点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的223倍，由此确定k的值。 2- 3 -
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③联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的
长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。
例3：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。 又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC。∴∠APB=∠BPH。 （2）△PHD的周长不变为定值8。证明如下：
如图2，过B作BQ⊥PH，垂足为Q。 由（1）知∠APB=∠BPH， 又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，
∴△ABP≌△QBP（AAS）。∴AP=QP，AB=BQ。 又∵AB=BC，∴BC=BQ。 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH， ∴△BCH≌△BQH（HL）。∴CH=QH。
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。 （3）如图3，过F作FM⊥AB，垂足为M，则FM=BC=AB。
又∵EF为折痕，∴EF⊥BP。
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