发布时间 : 星期一 文章2018年高考数学二轮专题复习训练：6个解答题专项强化练(三) 解析几何含解析更新完毕开始阅读216ff613bed126fff705cc1755270722182e5940
6个解答题专项强化练(三) 解析几何
1．已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0.
(1)若a＝－8，过点P(4,5)作圆M的切线，求该切线方程；
―→―→
(2)若AB为圆M的任意一条直径，且OA·OB＝－6(其中O为坐标原点)，求圆M的半径．
解：(1)若a＝－8，则圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝9，圆心M(1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心M到直线x＝4的距离为3，所以直线x＝4为圆M的一条切线；
若切线斜率存在，设切线方程为y－5＝k(x－4)，即kx－y－4k＋5＝0，则圆心到直线|k－4k＋5|8的距离为＝3，解得k＝，即切线方程为8x－15y＋43＝0.
15k2＋1
所以切线方程为x＝4或8x－15y＋43＝0.
(2)圆M的方程可化为(x－1)2＋y2＝1－a，圆心M(1，0)，则OM＝1，半径r＝1－a(a<1)． ―→―→―→―→
因为AB为圆M的任意一条直径，所以MA＝－MB，且|MA|＝|MB|＝r，
―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→则OA·OB＝(OM＋MA)·(OM＋MB)＝(OM－MB)·(OM＋MB)＝OM2－MB2＝1－r2，
―→―→又因为OA·OB＝－6，解得r＝7，所以圆M的半径为7. x2y2
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的
ab31，?. 左焦点为F(－1，0)，且经过点??2?
(1)求椭圆的标准方程；
AB
(2)已知椭圆的弦AB过点F，且与x轴不垂直．若D为x轴上的一点，DA＝DB，求
DF的值．
c＝1，??19
解：(1)法一：由题意，得?a＋4b＝1，
??a＝b＋c，
22
22
2
2??a＝4，
解得?2
?b＝3.?
x2y2
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
43法二：由题意，知2a＝
3?2
?1＋1?2＋??2?＋
3?2
?1－1?2＋??2?＝4，所以a＝2.
又c＝1，a2＝b2＋c2，所以b＝3，
x2y2
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
43(2)法一：设直线AB的方程为y＝k(x＋1)． ①当k＝0时，AB＝2a＝4，FD＝FO＝1，所以
AB
＝4； DF
②当k≠0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，把直线AB的方程代入椭圆方程，整理得
(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，
4k2－128k2
所以x1＋x2＝－，x·x＝，
3＋4k2123＋4k24k2
所以x0＝－，
3＋4k2所以y0＝k(x0＋1)＝
3k
， 3＋4k2
4k2?3k1?
所以AB的垂直平分线方程为y－＝－kx＋3＋4k2.
??3＋4k2
k
因为DA＝DB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，所以D?－3＋4k2，0?，
??3＋3k2k2
所以DF＝－＋1＝.
3＋4k23＋4k2又因为AB＝所以
AB
＝4. DF
1＋k2|x
1－x2|＝2
1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2＝
12＋12k2
，
3＋4k2
AB
综上，得DF的值为4.
AB
法二：①若直线AB与x轴重合，则DF＝4； ②若直线AB不与x轴重合，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，
?由?xy
?4＋3＝1，
22
22
x2y211
＋＝1，43
22
x2y21－x21－y2
两式相减得＋＝0，
43
?x1－x2?·x0?y1－y2?·y0
所以＋＝0，
43y1－y23x0
所以直线AB的斜率为＝－，
4y0x1－x2所以直线AB的垂直平分线方程为y－y0＝4y0
(x－x0)． 3x0
x0
，0?，所以DF因为DA＝DB，所以点D为AB的垂直平分线与x轴的交点，所以D??4?x0
＝＋1. 4
1
因为椭圆的左准线的方程为x＝－4，离心率为，
2由
AF11
＝，得AF＝(x1＋4)，
2x1＋42
1
同理BF＝(x2＋4)．
2
1
所以AB＝AF＋BF＝(x1＋x2)＋4＝x0＋4，
2AB
所以DF＝4. AB
综上，得DF的值为4.
x2y2
3.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右顶
ab3―→―→
点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且OM·AB＝－b2.
2
(1)求椭圆的离心率；
(2)若a＝2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥DC.记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
ab?解：(1)由题意，A(a,0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M??2，2?. ―→ab?―→
，，AB＝(－a，b)． 所以OM＝??22?3―→―→
因为OM·AB＝－b2，
2
ab?ab32，·所以?(－a，b)＝－＋＝－b， ?22?222
2
2
整理得a2＝4b2，即a＝2b.
因为a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，即3a＝2c. c3所以椭圆的离心率e＝a＝.
2(2)证明：法一：由a＝2得b＝1， x22
故椭圆方程为＋y＝1.
4
1
从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为－.
21
因为AB∥DC，故可设DC的方程为y＝－x＋m，
2
D(x1，y1)，C(x2，y2)．
?y＝－2x＋m，
联立方程?x
?4＋y＝1，
2
2
1
消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，
所以x1＋x2＝2m，从而x1＝2m－x2. 1
－x1＋m2y1
直线AD的斜率k1＝＝，
x1－2x1－21
－x2＋m－12y2－1
直线BC的斜率k2＝＝，
x2x211
－x1＋m－x2＋m－122
所以k1k2＝·
x2x1－2111
x1x2－?m－1?x1－mx2＋m?m－1?422＝ ?x1－2?x2111
x1x2－m?x1＋x2?＋x1＋m?m－1?422＝ x1x2－2x2111x1x2－m·2m＋?2m－x2?＋m?m－1?422＝ x1x2－2x211x1x2－x2421＝＝， x1x2－2x241
即k1k2为定值. 4
x22
法二：由a＝2得b＝1，故椭圆方程为＋y＝1.
41
从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为－. 2
2x0
设C(x0，y0)，则＋y20＝1. 4
因为AB∥CD，
1
故CD的方程为y＝－(x－x0)＋y0.
2
?联立方程?x
?4＋y＝1，
2
2
1
y＝－?x－x0?＋y0，
2
消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，
解得x＝x0或x＝2y0.