发布时间 : 星期一 文章1993年普通高等学校招生全国统一考试(北京及云南等省用题)文科数学试题及答案更新完毕开始阅读21729f90720abb68a98271fe910ef12d2af9a98c
∵ γ⊥α， ∴ PM⊥α. 而 a?α， ∴ PM⊥a.
同理PN⊥a. ——4分 又 PM?γ，PN?γ，
∴ a⊥γ. ——6分
(Ⅱ)于a上任取一点Q，过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2. ——7分 ∵ b∥α，∴ b∥a1.
同理b∥a2. ——8分 ∵ a1，a2同过Q且平行于b， ∵ a1，a2重合. 又 a1?α，a2?β，
∴ a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a. ——10分 ∵ b∥a1，∴ b∥a. 而a⊥γ，
∴ b⊥γ. ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分.
证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ. ——1分
∵ α⊥γ，P∈α， ∴ a′?α.
同理a′?β. ——3分 可见a′是α，β的交线.
因而a′重合于a. ——5分 又 a′⊥γ，
∴ a⊥γ. ——6分 (Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面与α交于直线c.同法过b作平面与
β交于直线d. ——7分
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∵ b∥α，b∥β.
∴ b∥c，b∥d. ——8分 又 c?β，d?β，可见c与d不重合.因而c∥d.
于是c∥β. ——9分 ∵ c∥β，c?α，α∩β=a，
∴ c∥a. ——10分 ∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(b?α，a?α)，
∴ b∥a. ——11分 而 a⊥γ，
∴ b⊥γ. ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分. (28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分.
解法一如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设以M，N为焦点且过点P的椭圆方程为
x2y2??1，焦点为M(－c，0)，N(c，0). ——1分 a2b211，tgα=tg(π－∠MNP)=2，得直线PM和直线PN的方程分别为y=(x+c)225544和y=2(x－c).将此二方程联立，解得x=c，y=c，即P点坐标为(c，c). ——5分
3333由tgM=
在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高为点P的纵坐标，故
S?MNP?144?2c?c?c2. 233?5323?3?. ——7分 ，，即P点坐标为??23??6?由题设条件S△MNP=1，∴ c=由两点间的距离公式
?533??23?21522??????， PM??x?c??y?????3?623?????533??23?152?????. PN??x?c??y2????6???2??3?3?2222 第10页 （共12页）
得 a?1?PM?PN??15. ——10分 22又 b2=a2－c2=
153??3，故所求椭圆方程为 444x2y2??1. ——12分 153解法二同解法一得c?32，P点的坐标为??5323??，?. ?63??∵ 点P在椭圆上，且a2=b2+c2.
?522?3????23?∴
?6??????3??b2???3?2?b2?1. ??2???化简得3b4－8b2－3=0.
解得b2=3，或b2=?13 (舍去). 又 a2=b2+c2=3+3154?4.
故所求椭圆方程为4x215?y23?1. 解法三同解法一建立坐标系. ∵ ∠P=∠α－∠PMN，
2?1∴ tgP?tg???N??tgM1?tg???N?tgM?2?3. 1?2?142∴ ∠P为锐角.
∴ sinP=
35，cosP=45. 而 S110△MNP=2|PM|·|PN|sinP=1，∴ |PM|·|PN|=3. ∵ |PM|+|PN|=2a，|MN|=2c，由余弦定理， (2c)2=|PM|2+|PN|2－2|PM|·|PN|cosP =(|PM|+|PN|)2－2|PM|·|PN|(1+cosP)
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——7分 ——10分 ——12分 ——1分 ——4分
=(2a)2－2·10104－2··， 335∴ c2=a2－3，即b2=3. ——7
又 sinM=
125，sinN=
5，由正弦定理，
PMsinN?PNsinM?MNsinP，
∴
PM?PNMNsinN?sinM?sinP.
即
2a2?2c5?13， 55∴ a=5c. 2∴ a2=b2+c2=3+a5.
∴ a2=
154. 故所求椭圆方程为4x2y215?3?1. 第12页 （共12页）
——10分
——12分 分