发布时间 : 星期四 文章目录至第八章更新完毕开始阅读221d4c7ba300a6c30c229fd9
即 而
fcos??mg. f??N??F,
得
mg?2??2r2. ??F? 例21 在一个与水平面成α角的粗糙斜面上放着一个物体，它系于一个不可伸长的细绳上，绳的另一端通过斜面上的一个小孔竖直穿过平面，如图1-35所示。然后慢慢地拉动绳子，开始时，绳子处于水平位置，在这个物体缓慢到达小孔的过程中，物体在斜面上通过的轨迹正好是一个半圆周，求动摩擦因数μ.
解析 物体在斜面上的运动可视为准静态平衡过程，各处合力都为0，物体在半圆周最低位置受力如图1-36所示。因∠ABC=45o，则 其中 f=μmgcosα，G//=mgsinα， 故 μ=tan α. 例22 （2009清华大学）质量为m、长为l的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合，底端A、B、C的间距均为l，如图1-37所示。 （1）求A棒顶端所受的作用力F的大小. （2）若有一质量也是m的人（视为质点）坐在A棒的中点处，三棒仍保持不动，这时A棒顶端所受作用力F的大小又为多少？ （3）在（2）情况下，地面与棒之间的静摩擦因数μ至少为多大？ 解析 （1）由对称性，OB、OC对OA的作用力水平，设合力为F，则以A为轴有
lmg?cos??Flsin?.
22
?33?l2???l?h2?22??由图1-38所示几何关系，有sin???，
l23故
F?12mgcot??mg. 24
（2）由图1-38所示，
sin??h2?2. 3l/23 取OBC为整体，受力如图1-39所示，其中Fy竖直向上，Fx水平且平行于AD，以BC为轴有
2mg?ODcos??Fy?ODcos??Fx?ODsin?， 2
以OA为对象，以A点为轴，受力如图1-40所示，则
l2mg?cos??Fy?lcos??Fx?lsin?,
2
解得Fx?21mg,Fy??mg（负号表示与图中Fy方向相反）. 33Fx2?Fy2?3mg. 3
故A处作用力 F?
（3）对A棒，fA?Fx?25mg,NA?2mg?Fy?mg, 33 则
?A?fA2?. NA5Fy1?mg, 26 由对称性，B棒在O点所受向下作用力为
故
17NB?mg?mg?mg.
66而B棒在O处所受水平弹力大小仍为Fx（三者互成120o）， 故 fB?Fx?2f22mg，相应的?B?B?. 3NB722. 7
比较?A、?B应取大者，故μ至少为 9.微元法：各处受力不相同时可取一微元对象来分析研究，再借助一定的近似条件可求得问题的结果，常用的数字近似式有
nsin????tan?、cos??1??2/2（θ很小），(1?x)?1?nx(x1)等.
例23 如图1-41所示，静止的圆锥体坚直放置，顶角为α。质量为m且分布均匀的软绳水平地套在圆锥体上，忽略软绳与圆锥体之间的摩擦力。试求软绳中的张力。 解析 取软绳中△l（△l→0）长微元段分析，受力情况如图1-42所示，其中T为软绳中
的张力，N为圆锥体对微元段的支持力。 微元段竖直方向有 △mg=Nsin(α/2). 软绳微元段俯视受力如图1-43所示，满足
2Tsin(??/2)?Ncos(?/2),
因△υ很小，有 得 而
sin(??/2)???/2， T???Ncos(?/2)
?m?m[?l/(2?R)]?m??/(2?)，
由此得
T?mg/[2?tan(?/2)].
例24 如图1-44所示，一个半径为R的l/4光滑球面置于水平桌面上，球面上有一条光滑匀质软绳，一端固定于球面顶点A，另一端恰好与桌面不接触，且单位长度软绳的质量为ρ。求软绳A端所受的水平拉力及软绳所受球面的支持力。
解析 解法一：取软绳中一微段（所对圆心角为△θ）研究，受力情况如图1-45所示，沿圆弧切线方向有
T上i??Gcos?i?T下i， T上i?T下i??gR??cos??i
即 其中
R??cos?i??hi，
即该弧段在竖直方向上的投影，将上式累加后易得到最上端A处所受的拉力T=ρgR（最下端B处所受的拉力为0）。 另由 N2=T2+G2， 得
N??gR1??2/4. 解法二：设想在A处将软绳缓慢拉过x（x→0），由于球面对软绳各处的支持力都沿半
径向外，故拉动过程中只有A端拉力T和软绳重力做功。同时软绳重力势能的变化情况等同于将软绳最下端一小段x段移至柱面的最高处，而其余部分重力势能当作不变，故
Tx??mgR, ?m?x?, T??gR.
其中 得
以下解法同解法一。 注：解法二的方法通常称为虚位移法，借助能量守恒知识求静力学问题有时会显得十分方便。 10.质（重）心位置的确定。 设系统由n个质点组成，质量分别为m1、m2、…，坐标分别为（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），…，则
xC?i?mx,yiiMC??my,ziiMC??mzMii.
其中M??m为系统的总质量。
例25 （2009同济大学）如图1-46所示，无穷多个质量均匀分布的圆环，半径依次为R、R/2、R/4、R/8、…相切于一公共点，则该系统的质心距半径为R的最大圆的圆心距离为______. 解析 以右切点为坐标原点，向左为x轴，则从大到小各环的质量依次为m、m/2、m/4、m/8、…，各环对应的质心坐标分别为R、R/2、R/4、R/8、….
故
x?mR?mR/4?mR/16?m?m/2?m/4??2R. 3 因而系统质心距半径为R的大圆的圆心距离为
R?2R/3?R/3.
例26 （2011华约数学试题）一个有底无盖的圆柱形桶，底面质量不计，桶侧面质量为ag，桶的重心在中轴线上的正中间位置，装满水后水的质量为bg. （1）若b=3a，水装到一半，求系统合重心到桶底面的距离与桶的高度之比。 （2）装入水的质量m为多少时，水和桶的合重心最低？ 解析 （1）设桶高h，合重心到桶底的高度为y，则
y?a?(h/2)?(b/2)?(h/4)7?h,
a?b/220即 y/h=7/20
（2）当水和桶的合重心在水面上时系统合重心最低，因为如果此时再加水，相当于在合重心上面添加物体，合重心当然升高；而如果在合重心下方去掉水，相当于在合重心下方抽掉物体，合重心也会升高。 设水的质量为m时水面距离桶底x，则由b/h=m/x，得x=mh/b，
故由 x?a?(h/2?)m?(x/2)，得m?a2?ab?a.
a?m注：第（2）问也可按数学方式来解，设水质量为m时合重心距底面高y，则