发布时间 : 星期三 文章大 学 物 理 实 验 绪 论更新完毕开始阅读223d0e2ea8956bec0875e335
??f?2??f?2??f?2???? ?y?????????x?x1??x?x2??x???xn (16)
?1??2??n???lnf或 ????xy1?222?y?2??lnf???x1????x2??2??lnf?2??????x2??xn??2?2???xn (17) ?2(17)式也是以相对误差形式表示的间接测量量的标准误差公式。
3、求间接测量量标准误差传递公式的基本步骤
给定直接测量量与间接测量量的函数关系后如何求间接测量量的标准误差传递公式？这实际上是由误差传递基本公式如何求间接测量量的误差传递公式的问题。其基本步骤是：
(1)求全微分 由给定的函数关系y?f(x1,x2,?xn)求出给定函数的全微分，即先求出(14)式，如果函数关系是积或商形式表示的，则先对函数等式两边取对数后再求全微分，即求出(15)式；
(2) 合并同类项 合并同一变量的误差传递系数。如果某个自变量有多项，则要先合并各项的系数(如果(14)式(15)式中项数多于变量的个数就需要合并同类项)；
(3)微分符号变为标准误差符号 即将(14)式或(15)式中的dxi变为?i； (4)求“方和根” 将各直接测量量的分误差
?f?i求平方，再相加，最后开平方根，?xi即得到间接测量量的标准误差传递公式(16)式或(17)式。
2 例2、求函数关系式z?ax?by?1的标准误差传递公式。设直接测量量x,y的x标准误差为?x,?y，a,b为常量。
2解: (1)求全微分 由函数关系式z?ax?by?1可求得其全微分为 xdz?2axdx?bdy?1dx x2(2)合并同类项 对于某个自变量有两项以上的必须将其合并为一项，所以有 dz?(2ax?1)dx?bdy 2x(3)微分符号变为标准误差号 将上式中各分误差的微分符号变为标准误差符号，其系数不变有
?z?(2ax?
1)?x?b?y x2１３
(4)求“方和根” 将上式右边各项求平方相加后再开平方根，等式左边不变，即得到间接测量量z的标准误差公式为
?z?(2ax?12222)??b?y x2x若直接测量量中有多次测量量,在计算间接测量量的值时是将直接测量量的平均值
x1,x2?x3代入函数关系式y?f(x1,x2,?xn)得到间接测量量的算术平均值y。
例3、求函数关系式z?cos(ax?by)的标准误差传递公式。设直接测量量x,y的标准误差为?x,?y，a,b为常量。
解： (1)求函数的全微分 由函数式z?cos(ax?by)求得其全微分为
dz??z?zdx?dy??asin(ax?by)dx?bsin(ax?by)dy ?x?y(2)微分符号变为标准误差符号 将上式中微分符号变为标准误差号，系数不变则有
?z??asin(ax?by)?x?bsin(ax?by)?y
(asin(ax?by)?x)2?(bsin(ax?by)?y)2
22a2sin2(ax?by)?x?b2sin2(ax?by)??y
(3)求“方和根” 将等式右边各项求平方相加后再开平方根，等式左边不变，则有 ?z?即 ?z? 间接测量结果的表示方法与直接测量结果的表示方法相同，也用(13)式表示。
例4、一铁质圆柱体，用感量为0.02g的天平称量其质量m一次，m=279.68g，用分度值为0.02mm的游标卡尺测量其高度H共五次，用分度值为0.01mm的千分尺测量其直径D五次（测量数据见表），求该圆柱体的密度。
解：测量数据为m=279.68(g),天平的读数误差为δm=0.02(g) 次数 H(mm) ?Hi?Hi?H(mm) 1 90.46 0.112 22.456 0.0006 2 90.26 -0.088 22.457 0.0016 3 90.36 0.012 22.454 4 90.38 0.032 22.451 5 90.28 -0.068 22.459 0.0036 平均值 90.348 22.4554 D(mm) ?Di?Di?D(mm)
-0.0014 -0.0044 １４
由此求得
??H2i?0.026
??D3?2i?3.7?10?5
(1)计算质量的标准误差： ?m??m0.02?0.0067(g)(单次测量误差) 3510.0262(2)计算高度的标准误差： ?H??H??0.03(6mm) ?in(n?1)i?15?4513.7?10?52(3)计算直径的标准误差：?D??Di??0.0013(mm) ?n(n?1)i?15?4(4)圆柱体的密度：??4m?DH2?4?279.68?7.8165(g/cm3) 23.14159?22.4554?90.348(5)求密度的标准误差
由于圆柱体密度函数是积商形式出现的，所以先对密度公式两边取对数有 ln??ln4?lnm?ln??2lnD?lnH
再对上式两边求全微分有：
????dm2dDdH?? mDH必须注意常数4和?的微分等于零。将上式右边求“方和根”(各项平方相加，再开平方根)，
左边不变，即得间接测量量密度?的相对误差： E??2?m0.0013??0.0067??0.036????4???2?1 ???????0.04"2m22.455?279.68??90.35???HD
2?H2?D222圆柱体密度的标准误差为
?????E??7.8165?0.041%?0.0032(g/cm3) ???0.004(g/cm3)
必须注意，对于绝对误差和相对误差只入不舍(在§3中陈述)，所以密度的标准误差为
3?????????7.817?0.004(g/cm)结果表达式： ?
??E?0.041%
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§3、有效数字及其运算规则
由于物理测量中总存在误差，因而测量误差决定了测量值的位数只能是有限位数，测
量结果数字最后一位应与误差相对应，不能随意取舍。因此，在物理测量中必须按照一定的表示方法和运算规则来正确表达和计算测量结果。 一、有效数字的概念 1、有效数字的定义
测量结果中所有可靠数字加上末位有误差(一位)的数字统称为测量结果的有效数字。虽然最后一位数字是有误差的，但是它还是能够反映测量的客观实际。
测量结果有效数字位数的计算：自左至右，从第一个非零数字数起到末位所有数字。例如123.4有四位有效数字，0.01234也是四位有效数字，23.600有五位有效数字。
常数的有效数字为无限多位，可以根据需要取舍。例如圆周率?，根据需要可以取3.14，也可以取3.142、3.14159等。
2、有效数字的读取
使用测量仪器测量数据时，必须使用有效数字来表示测量结果。即除了记录能准确读取的数字外，还必须记录一位有误差的数字，也就是说必须估读一位。
(1)对于以刻度示值的仪器，准确数字应该是最小刻度的整数倍；有误差的一位应该估读到最小刻度的十分位，即最小刻度十分之一的整数倍。如用最小刻度为1毫米的米尺测量长度时应该估计到零点几毫米。用分度值为游标卡尺进行测量时应该估计到最小分度值的下一位，一般估计到最小分度值的二分之一。若测量值恰好为整数，最后必须添零至误差发生的那一位。
(2)对于某些仪器读数时只需估计最小分度位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则0.1-0.4,0.6-0.9都是估计的，不必估到下一位。
(3)对于数字显示型测量仪器，测量结果直接由仪器读取，不需估计，并且认定最末位为有误差位。若进行单次测量时，用读数的最小单位作为误差。如数字毫秒计的最小单位是1毫秒，则进行单次时其误差δ=1ms。
3、有效数字的基本特征
(1)有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关。
对于同一被测量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不同的。仪器精度越高测量结果的有效数字越多。例如，用精度为0.01mm的千分尺测量一物体的长度，读数为8.344mm，共有四位有效数字，其中前三位数字“8.34”是可靠数字，末位“4”是可疑数字。如果改用最小分度值为1mm米尺来测量，其读数为8.3mm，测量结果只有两位有效数字。
(2) 有效数字的位数与被测量的大小有关。
例如用同一仪器测量大小不同的被测量，被测量越大，测得结果的有效数字的位数也就越多。
(3)有效数字的位数与单位的选择无关。
例如：34.2m不等于3420cm，前者是三位有效数字，后者则是四位有效数字；也不
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