发布时间 : 星期三 文章基于排队论的生产流程优化模型研究毕业论文更新完毕开始阅读224321a100f69e3143323968011ca300a7c3f644
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的概率为?j?t??(?t)（其中?j?0也为与t无关的常数）；在时刻t??t时，?(t??t)为I中其
（t）他元素的概率为?(?t)，则称该随机过程{?|t
??0,A?}为生灭过程。因为本篇文章中不会用
到生灭过程，所以更详细的内容就不在此赘述。
VV3.1.3 负指数分布。若用n表示第n位顾客所需的服务时间，则{n，n=1,2，……}也是
V一簇随机变量，假定{n，n=1,2，……}中各个随机变量相互独立，且服从相同的负指数分布：
P(Vn?t)?{1?e??t,t???0,t?0,，其中参数?>0,因而其概率密度函数为
1f(t)?{?e??t,t??0,t?0,V，n的数学
期望和方差分别为
E(Vn)??,D(Vn)?1?2，因此
??11E(Vn)，从而，?为每位顾客所需要的平
均服务时间，即为在单位时间内受到服务的顾客平均数。
若一个顾客的服务时间服从负指数分布，则当顾客开始接受服务后，服务结束的较短的可能性较大，而服务时间较长的可能性确是相当小的，也就是说，如果某种服务的服务时间具有以下性质：有大量的顾客要求较短时间的服务，只有少量麻烦顾客需要长时间服务时，则一般可认为服务时间服从负指数分布。
3.1.4 爱尔郎分布。爱尔郎分布的密度函数为
k?(k?t)k?1k?1)!f(t)?{0,t(?0e?k?t,t?0;
E(Vn)?1,D(Vn)?1k?2。
其中参数?>0，k称为阶数。
若顾客服务时间V服从爱尔郎分布，则V的数学期望和方差为
?由于负指数分布的特性说明顾客服务时间段的可能性比服务时间长的可能性大，所以，在实际应用中负指数分布受到一定的限制，而爱尔郎分布确具有较大的适应性。
f(t)K=∞K=3K=2K=1图3.2 不同k值的服务时间图
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由图可知，当k=1时，爱尔郎分布就是负指数分布；当k增大时，爱尔郎分布的图形逐渐变为对称的；当k?30时，爱尔郎分布近似于正态分布；当k??时，则D(Vn)?0,因此这时爱尔郎分布化为确定性分布，所以k阶爱尔郎分布可看成完全随机性与完全确定型之间的中间型。
3.2M/M/S/k模型及其适用范围
在了解了排队论的几个基本过程之后，来了解一下关于排队论的几种模型以及他们的使用范围。
一般的排队系统都由三个基本部分组成：
( 1) 输入过程。顾客按什么规律到达, 是有限的还是无限的, 方式是单个来还是成批来; 顾客到达的间隔是确定的, 还是随机的。
( 2) 排队规则。顾客到达后采用什么服务规则: 先到先服务、后到先服务, 随机服务还是有优先权服务。
( 3) 服务机构。服务台的设置、数量, 服务时间的分布。
为后面讨论具体的数学模型的方便，排队论模型中的数量指标的符号如表3.2排队论模型参数汇总表：
表3.2 排队论模型参数汇总表 符号 所表示的意义 单位时间内平均到达的顾客数，即平均到达率 平均到达间隔 单位时间内受到服务的顾客数，即平均服务率 每位顾客的平均服务时间 服务台个数 每个服务台的服务强度，即每个服务台在单位时间内的平均负荷 在统计平衡时，系统中具有j个顾客的概率 18
? 1/? ? 1/? S ? Pj 上海海事大学本科生毕业设计
D Q 顾客等待的概率 忙期 队长（正在接受服务和排队等待的顾客总数）的期望值 等待队长的期望值 逗留时间（顾客在系统中等待时间和接受服务的时间之和）的期望值 等待时间的期望值 有效到达率，单位时间内平均进入服务系统的顾客数 1，Liter公式Lq=?eWq，L??eW ?L Lq W Wq ?e W＝Wq＋
模型一：M/M/S，这是排队模型中较简单的一种排队模型，它表示为输入为泊松输入，服务时间服从负指数分布，S个服务台，系统容量不受限制的模型。如图3.3M/M/S服务系统模型图：
服务系统1输出顾客输入等待服务队伍2输出3服务台图3.3 M/M/S服务系统模型图
输出
假定到达率为?的最简单流来到S个服务台的服务系统，一个顾客来到时如果有一个以上的服务台空闲，顾客就被随机的指派给任何一个有空的服务台进行服务；若所有服务台均在服务，则顾客排成一个队伍等待服务，顾客服务时间与顾客到达间隔时间相互独立，遵从参数为?的负指数分布。
有上述表格给出的参数所表示的意义可知??∞?1S?1??1，系统队长的稳态概率： ?jS（S?）（S?）1?1P0=(??j)?（?+） 3-1
j！S！1??j?1j?119
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j（S?）P0,1?j?Sj!SS?jP0,j?SS!Pj?{ 3-2
P0为该系统的空闲率，根据L和Lq的定义可得：
L??jPj?S??j?1∞Lq??j?1∞?PS 3-3
(1??)2?jPS+j?PS 3-4
(1??)2PS?(S???)te,t?01??0,t?0设Uq为顾客等待时间，则该随机变量的分布函数为： F(t)=P(Uq?t)={1? 3-5
特别地：P（Uq>0）=PS 1??又可知：Wq?E(Uq)?W?1??(1??)2PS 3-6
????(1??)2PS 3-7
对于??1的系统，可知Pj?0对于一切j成立，这表示如果将这一系统维持一段很长的时间，系统中的顾客队伍就会无限长。对于这种情况，实际中出现的概率较小，本文不予过多讨论。
模型二：M/M/S/k排队模型
M/M/S/k排队模型为泊松输入，负指数分布服务，S个服务台，系统客容量为k的混合制系统（S S?1(S?)ikSS?i?1???] 3-8 令??则系统的稳态概率P0?[?i!S！S?i?0i?SPj?{j（S?）P0,j?1,2,…，Sj!SS?jP0,j?S?1,…，kS! 3-9 显然Pk就是顾客被拒之于系统之外的概率，即损失率。 根据定义：L=?jPj 3-10 j?0kkLq??jPS?j??(j?S)Pj， j?0j?Sk?S?(S?)SP0Lq?[1??k?S?(k?S)?k?S(1??)] 3-11 2S!(1??)可以验证：L?Lq?S?(1?Pk) 3-12 20