发布时间 : 星期三 文章河北省唐山市2019届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析更新完毕开始阅读227f1d80250c844769eae009581b6bd97f19bc3f
∴cos＜，＞==，
．
∴AD1与平面ADM所成角的正弦值为
19．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元：
方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）
2 1 0 红球个数 3 实际付款 半价 7折 8折 原价 （Ⅰ）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； （Ⅱ）若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？ 【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．
【分析】（Ⅰ）先求出顾客获得半价优惠的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率．
（Ⅱ）分别求出方案一和方案二和付款金额，由此能比较哪一种方案更划算． 【解答】解：（Ⅰ）记顾客获得半价优惠为事件A，则P（A）=两个顾客至少一个人获得半价优惠的概率： P=1﹣P（）P（）=1﹣（1﹣
）2=
．…
=
，
（Ⅱ）若选择方案一，则付款金额为320﹣50=270元．
若选择方案二，记付款金额为X元，则X可取160，224，256，320． P（X=160）=P（X=224）=P（X=256）=P（X=320）=则E（X）=160×
=+224×
， +256×
+320×
=240．
，
==
， ，
∵270＞240，
∴第二种方案比较划算．…
20．在△ABC中，A（﹣1，0），B（1，0），若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴（G．H不重合），
（I）求动点C的轨迹Γ的方程；
（II）已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程．
【考点】轨迹方程．
【分析】（Ⅰ）由题意可设C（x，y），则G（再由
?
=0整理得答案；
），H（x，），求出
，
的坐标，
（Ⅱ）设方程AC为y=k（x+1），C（x0，y0）．联立直线方程和椭圆方程，求出H的坐标，由点到直线的距离公式求得原点O到直线AC的距离，结合题意得到关于k的等式，求出k值后可得直线AC的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可设C（x，y），则G（=（x﹣1，），
=（x+1，y）， =x2﹣1+
=0，整理可得x2+
），H（x，）．
∵H为垂心，∴=1，
即动点C的轨迹Г的方程为x2+
=1（x?y≠0）；
（Ⅱ）显然直线AC的斜率存在，设方程AC为y=k（x+1），C（x0，y0）． 将y=k（x+1）代入x2+
=1得（3+k2）x2+2k2x+k2﹣3=0，
解得x0=，y0=
，则H（，）．
原点O到直线AC的距离d=，
依题意可得，
即7k4+2k2﹣9=0，解得k2=1，即k=1或﹣1， 故所求直线AC的方程为y=x+1或y=﹣x﹣1．
21．函数f（x）=2x﹣ex+1． （1）求f（x）的最大值； （2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值；
（2）求出f（x）在（0，1）为正，a≤0时，符合题意，a＞0时，通过讨论①0＜a≤1，②a＞1时的情况，结合函数的单调性求出a的具体范围即可． 【解答】解：（1）f（x）=2x﹣ex+1，f′（x）=2﹣ex，
令f′（x）＞0，解得：x＜ln2，令f′（x）＜0，解得：x＞ln2， ∴f（x）在（﹣∞，ln2）递增，在（ln2，+∞）递减， ∴f（x）的最大值是f（ln2）=2ln2﹣1；
（2）x∈（0，1）时，f（x）在（0，ln2）递增，在（ln2，1）递减， 且f（0）=0，f（1）=3﹣e＞0，∴f（x）＞0， ∵tanx＞0，∴a≤0时，af（x）≤0＜tanx； a＞0时，令g（x）=tanx﹣af（x）， 则g′（x）=
+a（ex﹣2），
∴g（x）在（0，1）递增且g′（0）=1﹣a， ①0＜a≤1时，g′（0）≥0，g′（x）≥0， ∴g（x）在（0，1）递增，又g（0）=0， ∴此时g（x）＞0，即af（x）＜tanx成立， ②a＞1时，g′（0）＜0，g′（1）＞0， ∴?x0∈（0，1），使得g′（x0）=0，
即x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）递减， 又g（0）=0，
∴g（x）＜0与af（x）＜tanx矛盾， 综上：a≤1．
四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BF∥CD且交ED于点F
（I）证明：△BCE∽△FDB；
（Ⅱ）若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，求AD?ED．
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 【分析】（Ⅰ）根据BF∥CD便有∠EDC=∠BFD，再根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出∠EBC=∠BFD，∠BCE=∠BDF，这样即可得出：△BCE与△FDB相似；
（Ⅱ）根据条件便可得出∠EBC=∠FBD，再由上面即可得出∠FBD=∠BFD，这样即可得出△FDB为等腰直角三角形，从而可求出BD=，根据射影定理即可求出AD?ED的值． 【解答】解：
（Ⅰ）证明：∵BF∥CD；
∴∠EDC=∠BFD， 又∠EBC=∠EDC， ∴∠EBC=∠BFD， 又∠BCE=∠BDF， ∴△BCE∽△FDB．
（Ⅱ）因为∠EBF=∠CBD，所以∠EBC=∠FBD， 由（Ⅰ）得∠EBC=∠BFD，所以∠FBD=∠BFD， 又因为BE为圆O的直径， 所以△FDB为等腰直角三角形，BD=
BF=
，
因为AB与圆O相切于B，所以EB⊥AB，即AD?ED=BD2=2．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C（圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（
，
）．
（Ⅰ）求半圆C的参数方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，﹣2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，代入半圆的极坐标方程，再由同角的平方关系，可得参数方程；
（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，可得直线l的方程为y=xtanα﹣2，D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得D到AB的距离，再由三角形的面积公式，由三角函数的恒等变换，即可得到所求点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2， 可得半圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y， 即x2+（y﹣1）2=1（y＞1）， 它的参数方程是
，φ为参数且φ∈（0，π）；
（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α， 则直线l的方程为y=xtanα﹣2， D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）． |AB|=
=
，
点D到直线l的距离为d=
==|﹣3cosα﹣sinα|=3cosα+sinα，
由△ABD的面积为4，得4=d|AB|==1+3cotα，