发布时间 : 星期日 文章[整理]数学分析教案（华东师大版）第二十一章重积分更新完毕开始阅读2387dab267ce0508763231126edb6f1afe007155
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,
其中L为区域D的正向边界. ( 证 ) P224
Green公式又可记为 .
1. 应用举例:
对环路积分, 可直接应用Green公式. 对非闭路积分, 常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.
例1 计算积分
, 其中A B
. 曲线AB为圆周
在第一象限中的部分. P226例1
解法一 ( 直接计算积分 ) 曲线AB的方程为
.方向为自然方向的反向. 因此
.
解法二 ( 用Green公式 ) 补上线段BO和OA ( O为坐标原点 ), 成闭路. 设所围
区域为D, 注意到
D为反向, 以及
, 有
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.
例2 计算积分 I =
, 其中L为任一不包含原点的闭区域D的边界(方向任意 ) P227例2
解 导数).
. (
和
在D上有连续的偏
, .
于是, I = .
二. 曲线积分与路线无关性:
单连通域和复连通域.
1. 积分与路径无关的等价条件: P228
Th21.12 设D R 是单连通闭区域. 若函数
和
在闭区域D内连
续, 且有连续的一阶偏导数 , 则以下四个条件等价 :
ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L, 有 .
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ⅱ> 对D内任一按段光滑的曲线L, 曲线积分只与曲线L的起点和终点有关.
与路径无关,
ⅲ>
.
是D内某一函数 的全微分, 即在D内有
ⅳ> 在D内每一点处有 .
2. 恰当微分的原函数:
若有
, 则称微分形式
是一个恰当微分. 恰当微分有原
函数,( 它的一个 ) 原函数为 :
.
或
其中点 验证第一式:
D, 当点 D时, 常取 = . =
;
.
例6 验证式 P231例4
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是恰当微分, 并求其原函数.
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. § 4 二重积分的变量变换:（4时）
1. 二重积分的变量变换公式: 设变换
的
Jacobi , 则
,
其中
是在该变换的逆变换
下 平面上的区域 在
平面上的象. 由条件
一般先引出变换
.而
, 这里的逆变换是存在的.
, 由此求出变换
.
例1 , . P235 例1.
註 当被积函数形如 区域为直线型时, 可试用线性变换
, 积分.
例2 , .
解 设
. 则
.
，
.
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